Normaler Operator

In der Funktionalanalysis verallgemeinert der normale Operator den Begriff der normalen Matrix aus der linearen Algebra.

Definition

Ist $X$ ein Hilbertraum und bezeichnet $ℒ (X)$ die Menge aller stetigen Endomorphismen von $X$ (d. h. beschränkte lineare Operatoren), so heißt ein Operator $A \in ℒ (X)$ normal, falls er mit seinem adjungierten Operator $A^{*}$ kommutiert, also wenn

A A^{*} = A^{*} A

gilt.

Beispiele

Selbstadjungierte und unitäre Operatoren sind offenbar normal.
Der unilaterale Shift ist ein Beispiel für einen nicht-normalen Operator.

Eigenschaften

Sei $A \in ℒ (X)$ ein normaler Operator. Dann gilt:

$‖ A x ‖ = ‖ A^{*} x ‖$ für alle $x \in X$
er ist paranormal:

‖ A x ‖^{2} \leq ‖ A^{2} x ‖ ‖ x ‖

für alle

x \in X

Für alle $n \in ℕ$ ist auch $A^{n}$ normal.
Die Operatornorm von $A$ ist gleich dem Spektralradius: $‖ A ‖ = sup {| λ | : λ \in σ (A)} .$ Dabei bezeichnet $σ (A)$ das Spektrum von $A$ .
Die von $A$ erzeugte C^*-Algebra und die von $A$ erzeugte Von-Neumann-Algebra sind kommutativ. Dieser Sachverhalt ermöglicht einen Funktionalkalkül.
Die Diagonalisierbarkeit normaler Matrizen in der linearen Algebra verallgemeinert sich auf normale Operatoren in Form des Spektralsatzes.
Eine Klassifikation normaler Operatoren besteht bzgl. unitärer Äquivalenz modulo kompakter Operatoren, indem man zur Calkin-Algebra übergeht, die im endlich-dimensionalen Fall ${0}$ ist. Das ist im Artikel zur Calkin-Algebra ausgeführt.
Ein beschränkter Operator $A$ in einem komplexen Hilbertraum lässt sich zerlegen in $A = W_{1} + i W_{2}$ mit dem „Realteil“ $W_{1} = \frac{1}{2} (A + A^{*})$ und dem „Imaginärteil“ $W_{2} = \frac{1}{2 i} (A - A^{*}) .$ Dabei sind die Operatoren $W_{i}$ selbstadjungiert. $A$ ist genau dann normal, wenn $W_{1} W_{2} = W_{2} W_{1}$ .

Unbeschränkte Operatoren

Ein unbeschränkter Operator $A : D (A) \subseteq X \to X$ mit Definitionsbereich $D (A)$ heißt normal falls

‖ A x ‖ = ‖ A^{*} x ‖, \forall x \in D (A) = D (A^{*})

gilt. Oben genannte äquivalente Charakterisierung der Normalität zeigt, dass es sich um eine Verallgemeinerung der Normalität beschränkter Operatoren handelt. Alle selbstadjungierten Operatoren sind normal, denn für diese gilt $A^{*} = A$ .

Literatur

Harro Heuser: Funktionalanalysis. B.G. Teubner, Stuttgart (1986), ISBN 3-519-22206-X.
Gerald Teschl: Mathematical Methods in Quantum Mechanics, American Mathematical Society, Providence (2009), ISBN 978-0-8218-4660-5. (freie Online-Version)

Einzelnachweise

↑ Jung, Sungeun; Ko, Eungil; Lee, Mee-Jung: On class A operators. In: Studia Mathematica. Band 198, 2010, ISSN 0039-3223, S. 249–260, doi:10.4064/sm198-3-4 (englisch).
↑ Tsuyoshi Ando: Operators with a norm condition. In: Acta Scientiarum Mathematicarum (Szeged). Band 33, 1972, S. 169–172.
↑ Stampfli, Joseph Gail: Hyponormal operators. In: Pacific Journal of Mathematics. Band 12. New York University, New York 1962, S. 1453–1458.

[1] Jung, Sungeun; Ko, Eungil; Lee, Mee-Jung: On class A operators. In: Studia Mathematica. Band 198, 2010, ISSN 0039-3223, S. 249–260, doi:10.4064/sm198-3-4 (englisch).

[2] Tsuyoshi Ando: Operators with a norm condition. In: Acta Scientiarum Mathematicarum (Szeged). Band 33, 1972, S. 169–172.

[3] Stampfli, Joseph Gail: Hyponormal operators. In: Pacific Journal of Mathematics. Band 12. New York University, New York 1962, S. 1453–1458.