Numerische Funktion

Eine numerische Funktion ist in der Mathematik eine Funktion, deren Funktionswerte erweiterte reelle Zahlen sind, also reelle Zahlen zuzüglich $- \infty$ und $+ \infty$ .

Betrachtet man eine Folge reeller Funktionen, so sind deren Supremum und deren Infimum im Allgemeinen nicht reell. In der Maßtheorie betrachtet man daher numerische Funktionen.

Definition

Sei $Ω \neq ∅︀$ und bezeichne $\bar{ℝ} = ℝ \cup {- \infty, \infty}$ die Zweipunktkompaktifizierung der Menge der reellen Zahlen. Eine Funktion

f : Ω \to \bar{ℝ}

heißt numerische Funktion.

Bemerkungen

Jede reellwertige Funktion $f : Ω \to ℝ$ ist eine numerische Funktion, ebenso die erweiterten Funktionen.

Beispiele

Die konstante Funktion $f : Ω \to \bar{ℝ}$ mit $f (ω) : = c$ , wobei $c \in \bar{ℝ}$ also auch als $+ \infty$ bzw. $- \infty$ definiert werden kann.
Die Funktion

f : ℝ \to \bar{ℝ}

,

f (x) = {\begin{matrix} \frac{1}{x^{2}}, & falls x ≠ 0 \\ + \infty, & falls x = 0 \end{matrix}

ist eine numerische Funktion. Mit der üblichen Definition der Konvergenz gegen ∞ ist sie sogar stetig.

Literatur

Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. 2., durchgesehene Auflage. Springer, Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-21026-6, doi:10.1007/978-3-642-21026-6.

Einzelnachweise

↑ Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. ISBN 978-3-642-21026-6, S. 91.

[1] Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. ISBN 978-3-642-21026-6, S. 91.