Panjer-Verteilung

Panjer-Verteilung
Verteilungsfunktion
Parameter	a,b
Träger	${\displaystyle \mathbb {N} \cup \{0\}}$
Erwartungswert	${\displaystyle {\frac {a+b}{1-a}}}$
Varianz	${\displaystyle {\frac {a+b}{(1-a)^{2}}}}$

Die Panjer-Verteilung (nach Harry Panjer) ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, welche die Verteilungen negative Binomialverteilung, Binomialverteilung (für ${\displaystyle p\in [0,1)}$) und Poisson-Verteilung in einer Verteilungsklasse vereint. Somit gehört sie zu den univariaten diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Sie wird in der Versicherungsmathematik als Schadenzahlverteilung eingesetzt, da ihre spezielle rekursive Struktur einen effizienten Algorithmus zur Berechnung der Gesamtschadenverteilung eines Versicherungsportefeuilles ermöglicht.

Charakterisierung

Die Klasse der Panjer-Verteilung besteht aus allen Verteilungen auf ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$, für die es Konstanten ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ mit ${\displaystyle a+b\geq 0}$ gibt, sodass folgende Rekursionsvorschrift für die Zähldichte ${\displaystyle p_{k}=P(X=k)}$ gilt:

${\displaystyle p_{k}=\left(a+{\frac {b}{k}}\right)\cdot p_{k-1},~~k\geq 1.}$

Die Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle p_{0}}$ ergibt sich aus der Normierungsbedingung

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }p_{k}=1.}$

Eine Folge ${\displaystyle (p_{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}}$ mit diesen Eigenschaften ist eine spezielle stochastische Folge, die als Panjer-Folge bezeichnet wird.

Wenn man die Rekursionsvorschrift nur für ${\displaystyle k\geq 2}$ fordert und ${\displaystyle p_{0}=0}$ setzt, erhält man die verschobene Panjer-Verteilung, welche bspw. die logarithmische Verteilung enthält.

Eigenschaften

Erwartungswert und Varianz der Panjer-Verteilung sind gegeben durch

${\displaystyle E(X)={\frac {a+b}{1-a}},~~\operatorname {Var} (X)={\frac {a+b}{(1-a)^{2}}}.}$

Es ist

${\displaystyle {\frac {\operatorname {Var} (X)}{E(X)}}={\frac {1}{1-a}},}$

woraus folgt, dass

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)>E(X)~~\iff a>0.}$

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=E(X)~~\iff a=0.}$

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)<E(X)~~\iff a<0.}$

Spezialfälle

Jede Panjer-Verteilung ist eine der drei folgenden Verteilungen:

Verteilung	${\displaystyle P[N=k]}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle p_{0}}$	${\displaystyle W_{N}(x)}$	${\displaystyle E[N]}$	${\displaystyle \operatorname {Var} (N)}$
Binomial	${\displaystyle {\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}}$	${\displaystyle {\frac {p}{p-1}}}$	${\displaystyle {\frac {p(n+1)}{1-p}}}$	${\displaystyle (1-p)^{n}}$	${\displaystyle (px+(1-p))^{n}}$	${\displaystyle np}$	${\displaystyle np(1-p)}$
Poisson	${\displaystyle e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \lambda }$	${\displaystyle e^{-\lambda }}$	${\displaystyle e^{\lambda (s-1)}}$	${\displaystyle \lambda }$	${\displaystyle \lambda }$
Negativ Binomial	${\displaystyle {\frac {\Gamma (r+k)}{k!\,\Gamma (r)}}\,p^{r}\,(1-p)^{k}}$	${\displaystyle 1-p}$	${\displaystyle (1-p)(r-1)}$	${\displaystyle p^{r}}$	${\displaystyle \left({\frac {p}{1-x(1-p)}}\right)^{r}}$	${\displaystyle {\frac {r(1-p)}{p}}}$	${\displaystyle {\frac {r(1-p)}{p^{2}}}}$

Mit ${\displaystyle a=0,~b=\lambda ,~p_{0}=e^{-\lambda }}$ erhält man die Poisson-Verteilung. In diesem Fall ist also ${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=E(X)}$.

Mit ${\displaystyle a=-{\frac {p}{1-p}},~b=(n+1)\cdot {\frac {p}{1-p}},~p_{0}=(1-p)^{n}}$ erhält man die Binomialverteilung. In diesem Fall ist ${\displaystyle \operatorname {Var} (X)<E(X)}$.

Mit ${\displaystyle a=1-p,~b=(r-1)\cdot (1-p),~p_{0}=p^{r}}$ erhält man die Negative Binomialverteilung (Zählung der Misserfolge). Hier ist nun ${\displaystyle \operatorname {Var} (X)>E(X)}$.

Siehe auch

• Panjer-Algorithmus

Literatur

• Thomas Mack: Schadenversicherungsmathematik. 2. Auflage, Verlag Versicherungswirtschaft 2002, ISBN 3-88487-957-X.
• Heinz-Willi Goelden, Klaus Th. Hess, Martin Morlock, Klaus D. Schmidt, Klaus J. Schröter: Schadenversicherungsmathematik. 2. Auflage, Springer Spektrum Berlin / Heidelberg, 2023, ISBN 978-3-662-68623-2.

Einzelnachweise

1. ↑ Klaus D. Schmidt: Stochastische Folgen. Ein Proseminar mit Anwendungen in der Versicherungsmathematik (= Springer-Lehrbuch). Springer Spektrum, Berlin / Heidelberg 2015, ISBN 978-3-662-46175-4, Kap. 8: Panjer-Folgen, S. 95–104, doi:10.1007/978-3-662-46176-1. 
2. ↑ Heinz-Willi Goelden, Klaus Th. Hess, Martin Morlock, Klaus D. Schmidt, Klaus J. Schröter: Schadenversicherungsmathematik. 2. Auflage. Springer Spektrum, Berlin / Heidelberg 2023, ISBN 978-3-662-68623-2.