Perfektoider Ring

Ein perfektoider Ring ist ein spezieller topologischer Ring. Der Begriff wurde 2012 von Peter Scholze in seiner Theorie perfektoider Räume eingeführt.

Definition

Sei ${\displaystyle p}$ eine feste Primzahl. Ein perfektoider Ring ${\displaystyle A}$ ist ein vollständiger und gleichmäßiger Tatescher Huber-Ring, der eine topologisch nilpotente Einheit ${\displaystyle \varpi \in A}$ (auch pseudo-uniformisierendes Element genannt) besitzt, sodass die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:

• ${\displaystyle \varpi ^{p}}$ teilt ${\displaystyle p}$ im Ring potenz-beschränkter Elemente ${\displaystyle A^{\circ }\subset A}$.
• Der Frobenius-Homomorphismus ${\displaystyle A^{\circ }/\varpi \to A^{\circ }/\varpi ^{p},a\mapsto a^{p}}$ ist bijektiv.

Ein perfektoider Körper ist ein perfektoider Ring, der ein Körper ist.

Erläuterungen zu den Begriffen in der Definition:

• Ein vollständiger Huber-Ring ist ein vollständiger topologischer Ring ${\displaystyle A}$, der einen offenen Teilring ${\displaystyle A_{0}}$ besitzt, der wiederum ein endlich erzeugtes Ideal ${\displaystyle I\subset A_{0}}$ besitzt, sodass ${\displaystyle \{I^{n}\}_{n\geq 0}}$ in der Teilraumtopologie von ${\displaystyle A_{0}}$ eine Umgebungsbasis von ${\displaystyle 0}$ ist. Gefordert ist lediglich die Existenz von ${\displaystyle A_{0}}$ bzw. ${\displaystyle I}$. ${\displaystyle A_{0}}$ ist also ein ${\displaystyle I}$-adischer Ring.
• Ein vollständiger Huber-Ring heißt Tatesch, falls er eine topologisch nilpotente Einheit besitzt. Das ist ein invertierbares Element ${\displaystyle a\in A}$ mit ${\displaystyle a^{n}\to 0}$ für ${\displaystyle n\to \infty }$.
• Ein topologischer Ring heißt gleichmäßig, falls der Teilring potenz-beschränkter Elemente ${\displaystyle A^{\circ }}$ eine beschränkte Teilmenge von ${\displaystyle A}$ ist. Das heißt, dass für jede Umgebung ${\displaystyle U\subset A}$ der ${\displaystyle 0}$ eine offene Umgebung ${\displaystyle V\subset A}$ der ${\displaystyle 0}$ existiert, sodass ${\displaystyle ax\in U}$ für alle ${\displaystyle a\in A^{\circ }}$ und alle ${\displaystyle x\in V}$ gilt.

Literatur

• Sophie Morel: Adic spaces, abgerufen am 30. Dezember 2020.
• Peter Scholze: Perfectoid spaces.

Einzelnachweise

1. ↑ Morel: Def. V.1.1.1.
2. ↑ Morel: Def. IV.1.1.2. für gleichmäßig und Def. II.1.1.3. für beschränkte Teilmenge.