Winkel am Kreis

Beweis 1

Es wird die Verbindungsstrecke ${\displaystyle {\overline {PM}}}$ eingezeichnet. Der Winkel zwischen ${\displaystyle {\overline {PM}}}$ und ${\displaystyle {\overline {PA}}}$ ist mit ${\displaystyle \varphi _{1}}$ bezeichnet, der Winkel zwischen ${\displaystyle {\overline {PM}}}$ und ${\displaystyle {\overline {PB}}}$ mit ${\displaystyle \varphi _{2}}$. Die Dreiecke ${\displaystyle PAM}$ und ${\displaystyle BPM}$ sind gleichschenklig (Basiswinkel ${\displaystyle \varphi _{1}}$ bzw. ${\displaystyle \varphi _{2}}$, siehe Zeichnungen). Die Winkel ${\displaystyle \alpha }$ und ${\displaystyle \beta }$ sind definiert durch ${\displaystyle \alpha =\angle PMA}$ und ${\displaystyle \beta =\angle BMP}$ (Gegenuhrzeigersinn!). Zu beachten ist, dass diese beiden Winkel auch größer als ${\displaystyle 180^{\circ }}$ sein können. Die drei Winkel bei ${\displaystyle M}$, nämlich ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$ und ${\displaystyle \mu }$, bilden einen ${\displaystyle 360^{\circ }}$-Winkel (Vollwinkel), es gilt also

${\displaystyle \alpha +\beta +\mu =360^{\circ }}$.

Im Folgenden sind drei Fälle zu unterscheiden:

1. Fall${\displaystyle \colon \,M}$ zwischen ${\displaystyle {\overline {PA}}}$ und ${\displaystyle {\overline {PB}}}$

In diesem Fall ist das Viereck ${\displaystyle AMBP}$ nicht überschlagen. Es kann jedoch konvex (für ${\displaystyle \mu >180^{\circ }}$), konkav (für ${\displaystyle \mu <180^{\circ }}$) oder zu einem Dreieck ausgeartet sein (für ${\displaystyle \mu =180^{\circ }}$).

Der Satz über die Winkelsumme im Dreieck zeigt:

${\displaystyle \alpha =180^{\circ }-2\varphi _{1},\quad \beta =180^{\circ }-2\varphi _{2}}$

Einsetzen in die obige Bedingung ergibt:

${\displaystyle (180^{\circ }-2\varphi _{1})+(180^{\circ }-2\varphi _{2})+\mu =360^{\circ }}$

${\displaystyle 360^{\circ }-2\varphi _{1}-2\varphi _{2}+\mu =360^{\circ }}$

${\displaystyle \mu =2\varphi _{1}+2\varphi _{2}=2(\varphi _{1}+\varphi _{2})}$

Wegen ${\displaystyle \phi =\varphi _{1}+\varphi _{2}}$ (siehe Zeichnung) folgt daraus die Behauptung ${\displaystyle \mu =2\phi }$.

2. Fall${\displaystyle \colon \,M}$ auf ${\displaystyle {\overline {PA}}}$ oder ${\displaystyle {\overline {PB}}}$

In diesem Fall ist die Argumentation wie im 1. Fall, allerdings gilt jetzt ${\displaystyle \varphi _{1}=0^{\circ }}$ (falls ${\displaystyle M}$ auf ${\displaystyle {\overline {PA}}}$) bzw. ${\displaystyle \varphi _{2}=0^{\circ }}$ (falls ${\displaystyle M}$ auf ${\displaystyle {\overline {PB}}}$).

3. Fall${\displaystyle \colon \,M}$ außerhalb von ${\displaystyle {\overline {PA}}}$ und ${\displaystyle {\overline {PB}}}$

In diesem Fall ist das Viereck ${\displaystyle AMBP}$ überschlagen (siehe nebenstehendes Bild: Der Punkt ${\displaystyle P}$ befindet sich nahe seinen Endlagen bei ${\displaystyle A}$ oder bei ${\displaystyle B}$).

Fall 3.1: Wenn ${\displaystyle M}$ näher bei ${\displaystyle {\overline {PA}}}$ liegt (siehe Zeichnung), gilt

${\displaystyle \phi =\varphi _{2}-\varphi _{1},\quad 360^{\circ }-\alpha =180^{\circ }-2\varphi _{1},\quad \beta =180^{\circ }-2\varphi _{2}}$.

Die zweite dieser Bedingungen ergibt ${\displaystyle \alpha =180^{\circ }+2\varphi _{1}}$. Durch Einsetzen folgt also:

${\displaystyle (180^{\circ }+2\varphi _{1})+(180^{\circ }-2\varphi _{2})+\mu =360^{\circ }}$

${\displaystyle 360^{\circ }+2\varphi _{1}-2\varphi _{2}+\mu =360^{\circ }}$

${\displaystyle \mu =2\varphi _{2}-2\varphi _{1}=2(\varphi _{2}-\varphi _{1})=2\phi }$

Fall 3.2: Wenn ${\displaystyle M}$ näher bei ${\displaystyle {\overline {PB}}}$ liegt, gilt entsprechend

${\displaystyle \phi =\varphi _{1}-\varphi _{2},\quad \alpha =180^{\circ }-2\varphi _{1},\quad 360^{\circ }-\beta =180^{\circ }-2\varphi _{2}}$.

Die letzte dieser Bedingungen bedeutet ${\displaystyle \beta =180^{\circ }+2\varphi _{2}}$. Durch Einsetzen erhält man:

${\displaystyle (180^{\circ }-2\varphi _{1})+(180^{\circ }+2\varphi _{2})+\mu =360^{\circ }}$

${\displaystyle 360^{\circ }-2\varphi _{1}+2\varphi _{2}+\mu =360^{\circ }}$

${\displaystyle \mu =2\varphi _{1}-2\varphi _{2}=2(\varphi _{1}-\varphi _{2})=2\phi }$

Zusammenfassung

In allen Fällen lautet das Ergebnis ${\displaystyle \mu =2\phi }$.

Für ${\displaystyle \mu =180^{\circ }}$ folgt aus dem Kreiswinkelsatz ${\displaystyle \phi =90^{\circ }}$. Daher kann der Satz des Thales als Spezialfall des Kreiswinkelsatzes aufgefasst werden.

Beweis 2

Fall 1: Einer der Schenkel zum Umfangswinkel verläuft durch den Mittelpunkt

Die beiden Winkel ${\displaystyle \angle MAP}$ und ${\displaystyle \angle APM}$ sind beide gleich ${\displaystyle \varphi }$. Der Winkel ${\displaystyle \angle PMA}$ beträgt entsprechend ${\displaystyle 180^{\circ }-2\varphi }$ und demnach dessen Nebenwinkel ${\displaystyle \mu =180^{\circ }-(180^{\circ }-2\varphi )=2\varphi }$.

Fall 1: Ein Schenkel des Umfangswinkels verläuft durch den Mittelpunkt ${\displaystyle M}$.

Fall 2: Der Mittelpunktswinkel beträgt 180°.

Fall 3: AMBP bildet ein reguläres, nicht überschlagenes Viereck

Die Argumentation ist dieselbe wie in Fall 2.

Fall 3: Die Punkte ${\displaystyle AMBP}$ bilden ein reguläres Viereck.

Fall 4: Die Punkte ${\displaystyle APMB}$ bilden ein überschlagenes Viereck.

Umfangswinkelsatz

Insbesondere der Umfangswinkelsatz lässt sich nicht selten für geometrische Konstruktionen verwenden. In vielen Fällen sucht man die Menge (den geometrischen Ort) aller Punkte ${\displaystyle P}$, von denen aus eine gegebene Strecke (hier ${\displaystyle {\overline {AB}}}$) unter einem bestimmten Winkel erscheint. Die gesuchte Punktmenge besteht im Allgemeinen aus zwei Kreisbögen, den sogenannten Fasskreisbögen (Bild 1).

Bekanntlich ist bei einem Dreieck der anliegende Außenwinkel stets so groß, wie sie Summe seiner nicht anliegenden Innenwinkel. Auf Grund dessen gilt:

Liegt der Punkt ${\displaystyle C}$ des Dreiecks ${\displaystyle ACP}$ innerhalb des Fasskreisbogens, so ist der Winkel ${\displaystyle \gamma }$ gleich ${\displaystyle \alpha +\beta }$ (Bild 2 mit Beispiel ${\displaystyle \alpha =60^{\circ }}$). Liegt dagegen der Punkt ${\displaystyle C}$ des Dreiecks ${\displaystyle APC}$ außerhalb des Fasskreisbogens, so ist der Winkel ${\displaystyle \alpha }$ gleich ${\displaystyle \beta +\gamma }$ (Bild 3 mit Beispiel ${\displaystyle \alpha =60^{\circ }}$).

Der Beweis des nachfolgenden Anwendungsbeispiels beruht auf einer mehrfachen Anwendung des Umfangswinkelsatzes (Bild 4):

Gegeben seien drei Geraden ${\displaystyle g_{1}}$, ${\displaystyle g_{2}}$ und ${\displaystyle g_{3}}$, die sich im Punkt ${\displaystyle S}$ schneiden. Von einem Punkt ${\displaystyle P\neq S}$ werden jeweils die Lote auf ${\displaystyle g_{1}}$, ${\displaystyle g_{2}}$ und ${\displaystyle g_{3}}$ gefällt.

Dann stimmen die Innenwinkelweiten des entstandenen Dreiecks ${\displaystyle ABC}$ mit den Schnittwinkelweiten der drei Geraden überein.

Beweis:

Betrachtet wird der Thaleskreis ${\displaystyle k}$ über der Strecke ${\displaystyle {\overline {PS}}}$ mit verschiedenen Peripheriewinkeln.

• Die Winkel ${\displaystyle \angle BAC}$ und ${\displaystyle \angle BSC}$ sind Umfangswinkel über dem zur Sehne ${\displaystyle {\overline {BC}}}$ gehörigen (kleineren) Kreisbogen und haben deshalb dieselbe Weite ${\displaystyle \alpha }$.
• Die Winkel ${\displaystyle \angle ACB}$ und ${\displaystyle \angle ASB}$ sind Umfangswinkel über dem zur Sehne ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ gehörigen (kleineren) Kreisbogen und haben deshalb dieselbe Weite ${\displaystyle \gamma }$.
• Die Winkel ${\displaystyle \angle g_{1}g_{3}}$ und ${\displaystyle \angle CBA}$ haben wegen ${\displaystyle \beta =180^{\circ }-\alpha -\gamma }$ dieselbe Weite ${\displaystyle \beta }$.

Damit ist die Aussage bewiesen.

Für den Spezialfall, dass die drei Geraden sich im Punkt ${\displaystyle S}$ unter einem Winkel von jeweils ${\displaystyle 60^{\circ }}$ schneiden, ergibt sich mit ${\displaystyle \alpha =\beta =\gamma }$ als unmittelbare Folgerung (Bild 5):

Gegeben seien drei Geraden ${\displaystyle g_{1}}$, ${\displaystyle g_{2}}$ und ${\displaystyle g_{3}}$, die sich im Punkt ${\displaystyle S}$ unter einem Winkel von jeweils ${\displaystyle 60^{\circ }}$ schneiden. Von einem Punkt ${\displaystyle P\neq S}$ werden jeweils die Lote auf ${\displaystyle g_{1}}$, ${\displaystyle g_{2}}$ und ${\displaystyle g_{3}}$ gefällt.

Dann ist das Dreieck ${\displaystyle ABC}$ gleichseitig.

Dreieckskonstruktion mittels Fasskreisbogen

Von einem Dreieck sind die Seite ${\displaystyle c}$, die Höhe ${\displaystyle h_{c}}$ und der Winkel ${\displaystyle \gamma }$ gegeben. Für das Bestimmen des fehlenden Eckpunktes ${\displaystyle C}$ wird der Fasskreisbogen genutzt. Dieser basiert auf der Eigenschaft, dass alle Umfangswinkel über derselben Sehne gleich groß sind (Umfangswinkelsatz). Da der Umfangswinkel ${\displaystyle \gamma }$ genau halb so groß ist wie der zugehörige Mittelpunktswinkel, lässt sich über den Hilfswinkel ${\displaystyle \alpha =90^{\circ }-\gamma }$ der exakte Mittelpunkt des Fasskreisbogens bestimmen.

Konstruktion

Die Konstruktion beginnt mit dem Zeichnen der Seite ${\displaystyle c}$ als Strecke ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ und Errichten der Mittelsenkrechten (Schnittpunkt ${\displaystyle M_{1}}$). Im Eckpunkt ${\displaystyle A}$ wird nun der ermittelte Winkel ${\displaystyle \alpha }$ an die Strecke ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ angetragen. Dabei schneidet der Winkelschenkel die Mittelsenkrechte und liefert somit den Mittelpunkt ${\displaystyle M_{2}}$ des Fasskreisbogens, der nun mit dem Radius ${\displaystyle |{\overline {M_{2}A}}|}$ eingezeichnet wird. Abschließend zieht man im Abstand der Höhe ${\displaystyle h_{c}}$ eine Parallele zur Seite ${\displaystyle c}$. Die Schnittpunkte dieser Parallelen mit dem Fasskreisbogen ergeben den gesuchten Dreieckspunkt ${\displaystyle C}$ bzw. ${\displaystyle C'}$, wodurch sich zwei mögliche, zueinander spiegelbildliche Dreiecke fertigstellen lassen.

Kreiswinkelsatz

Der Kreiswinkelsatz eignet sich, um etwa den Satz von Cardano zu begründen, aber auch als Konstruktionsbaustein zur Lösung z. B. folgender Aufgaben:

• Zeichne ein Vierzigeck, bei dem die Seitenlänge ${\displaystyle a}$ gegeben ist.

Hierfür wird zuerst der Umkreis eines Zehnecks mit nur einer Seitenlänge ${\displaystyle a}$ konstruiert und anschließend zweimal hintereinander der Kreiswinkelsatz angewendet.

• Die Dreiteilung des Winkels mithilfe der Hyperbel; bereits im 4. Jhdt. nutzte Pappos für deren Lösung die Eigenschaften dieses Satzes (Bild 1).
• Es ist aus einer vorgegebenen Seitenlänge ${\displaystyle a}$ ein Polygon zu konstruieren, das die doppelte Anzahl Ecken eines Polygons mit gleicher Seitenlänge hat (Bild 2).
• Es ist aus einer vorgegebenen Seitenlänge ${\displaystyle a}$ ein Polygon zu konstruieren, das die halbe Anzahl Ecken eines Polygons mit gleicher Seitenlänge hat (Bild 3).