Winkel am Kreis

Beweis 1

Es wird die Verbindungsstrecke ${\displaystyle {\overline {PM}}}$ eingezeichnet. Der Winkel zwischen ${\displaystyle {\overline {PM}}}$ und ${\displaystyle {\overline {PA}}}$ ist mit ${\displaystyle \varphi _{1}}$ bezeichnet, der Winkel zwischen ${\displaystyle {\overline {PM}}}$ und ${\displaystyle {\overline {PB}}}$ mit ${\displaystyle \varphi _{2}}$. Die Dreiecke ${\displaystyle PAM}$ und ${\displaystyle BPM}$ sind gleichschenklig (Basiswinkel ${\displaystyle \varphi _{1}}$ bzw. ${\displaystyle \varphi _{2}}$, siehe Zeichnungen). Die Winkel ${\displaystyle \alpha }$ und ${\displaystyle \beta }$ sind definiert durch ${\displaystyle \alpha =\angle PMA}$ und ${\displaystyle \beta =\angle BMP}$ (Gegenuhrzeigersinn!). Zu beachten ist, dass diese beiden Winkel auch größer als ${\displaystyle 180^{\circ }}$ sein können. Die drei Winkel bei ${\displaystyle M}$, nämlich ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$ und ${\displaystyle \mu }$, bilden einen ${\displaystyle 360^{\circ }}$-Winkel (Vollwinkel), es gilt also

${\displaystyle \alpha +\beta +\mu =360^{\circ }}$.

Im Folgenden sind drei Fälle zu unterscheiden:

1. Fall${\displaystyle \colon \,M}$ zwischen ${\displaystyle {\overline {PA}}}$ und ${\displaystyle {\overline {PB}}}$

In diesem Fall ist das Viereck ${\displaystyle AMBP}$ nicht überschlagen. Es kann jedoch konvex (für ${\displaystyle \mu >180^{\circ }}$), konkav (für ${\displaystyle \mu <180^{\circ }}$) oder zu einem Dreieck ausgeartet sein (für ${\displaystyle \mu =180^{\circ }}$).

Der Satz über die Winkelsumme im Dreieck zeigt:

${\displaystyle \alpha =180^{\circ }-2\varphi _{1},\quad \beta =180^{\circ }-2\varphi _{2}}$

Einsetzen in die obige Bedingung ergibt:

${\displaystyle (180^{\circ }-2\varphi _{1})+(180^{\circ }-2\varphi _{2})+\mu =360^{\circ }}$

${\displaystyle 360^{\circ }-2\varphi _{1}-2\varphi _{2}+\mu =360^{\circ }}$

${\displaystyle \mu =2\varphi _{1}+2\varphi _{2}=2(\varphi _{1}+\varphi _{2})}$

Wegen ${\displaystyle \phi =\varphi _{1}+\varphi _{2}}$ (siehe Zeichnung) folgt daraus die Behauptung ${\displaystyle \mu =2\phi }$.

2. Fall${\displaystyle \colon \,M}$ auf ${\displaystyle {\overline {PA}}}$ oder ${\displaystyle {\overline {PB}}}$

In diesem Fall ist die Argumentation wie im 1. Fall, allerdings gilt jetzt ${\displaystyle \varphi _{1}=0^{\circ }}$ (falls ${\displaystyle M}$ auf ${\displaystyle {\overline {PA}}}$) bzw. ${\displaystyle \varphi _{2}=0^{\circ }}$ (falls ${\displaystyle M}$ auf ${\displaystyle {\overline {PB}}}$).

3. Fall${\displaystyle \colon \,M}$ außerhalb von ${\displaystyle {\overline {PA}}}$ und ${\displaystyle {\overline {PB}}}$

In diesem Fall ist das Viereck ${\displaystyle AMBP}$ überschlagen (siehe nebenstehendes Bild: Der Punkt ${\displaystyle P}$ befindet sich nahe seinen Endlagen bei ${\displaystyle A}$ oder bei ${\displaystyle B}$).

Fall 3.1: Wenn ${\displaystyle M}$ näher bei ${\displaystyle {\overline {PA}}}$ liegt (siehe Zeichnung), gilt

${\displaystyle \phi =\varphi _{2}-\varphi _{1},\quad 360^{\circ }-\alpha =180^{\circ }-2\varphi _{1},\quad \beta =180^{\circ }-2\varphi _{2}}$.

Die zweite dieser Bedingungen ergibt ${\displaystyle \alpha =180^{\circ }+2\varphi _{1}}$. Durch Einsetzen folgt also:

${\displaystyle (180^{\circ }+2\varphi _{1})+(180^{\circ }-2\varphi _{2})+\mu =360^{\circ }}$

${\displaystyle 360^{\circ }+2\varphi _{1}-2\varphi _{2}+\mu =360^{\circ }}$

${\displaystyle \mu =2\varphi _{2}-2\varphi _{1}=2(\varphi _{2}-\varphi _{1})=2\phi }$

Fall 3.2: Wenn ${\displaystyle M}$ näher bei ${\displaystyle {\overline {PB}}}$ liegt, gilt entsprechend

${\displaystyle \phi =\varphi _{1}-\varphi _{2},\quad \alpha =180^{\circ }-2\varphi _{1},\quad 360^{\circ }-\beta =180^{\circ }-2\varphi _{2}}$.

Die letzte dieser Bedingungen bedeutet ${\displaystyle \beta =180^{\circ }+2\varphi _{2}}$. Durch Einsetzen erhält man:

${\displaystyle (180^{\circ }-2\varphi _{1})+(180^{\circ }+2\varphi _{2})+\mu =360^{\circ }}$

${\displaystyle 360^{\circ }-2\varphi _{1}+2\varphi _{2}+\mu =360^{\circ }}$

${\displaystyle \mu =2\varphi _{1}-2\varphi _{2}=2(\varphi _{1}-\varphi _{2})=2\phi }$

Zusammenfassung

In allen Fällen lautet das Ergebnis ${\displaystyle \mu =2\phi }$.

Beweis 2

1. Fall${\displaystyle \colon }$ Einer der Schenkel des Umfangswinkels verläuft durch den Mittelpunkt

Die beiden Winkel ${\displaystyle \angle MAP}$ und ${\displaystyle \angle APM}$ sind als Basiswinkel des gleichschenkligen Dreiecks ${\displaystyle PAM}$ beide gleich ${\displaystyle \varphi }$. Der Winkel ${\displaystyle \angle PMA}$ beträgt entsprechend ${\displaystyle 180^{\circ }-2\varphi }$ (Winkelsumme). Für den Nebenwinkel folgt daraus

${\displaystyle \mu =180^{\circ }-(180^{\circ }-2\varphi )=2\varphi }$.

• 
  Fall 1: Ein Schenkel des Umfangswinkels (hier ${\displaystyle {\overline {PB}}}$) verläuft durch den Mittelpunkt.

2. Fall${\displaystyle \colon }$ AMBP ist ein reguläres, nicht überschlagenes Viereck

Die Strecke ${\displaystyle {\overline {PM}}}$ wird über ${\displaystyle M}$ hinaus verlängert. Die durch diese Hilfslinie entstandenen Teilwinkel seien mit ${\displaystyle \mu _{1},\mu _{2}}$ bzw. ${\displaystyle \varphi _{1},\varphi _{2}}$ bezeichnet. Sowohl ${\displaystyle \mu _{1}}$ und ${\displaystyle \varphi _{1}}$ als auch ${\displaystyle \mu _{2}}$ und ${\displaystyle \varphi _{2}}$ erfüllen die Voraussetzungen von Fall 1, es gilt also ${\displaystyle \mu _{1}=2\varphi _{1}}$ und ${\displaystyle \mu _{2}=2\varphi _{2}}$. Man erhält folglich

${\displaystyle \mu =\mu _{1}+\mu _{2}=2\varphi _{1}+2\varphi _{2}=2(\varphi _{1}+\varphi _{2})=2\varphi }$.

Diese Argumentation gilt gleichermaßen für ${\displaystyle \mu <180^{\circ }}$ (konkaves Viereck), ${\displaystyle \mu =180^{\circ }}$ (ausgeartetes Viereck) und ${\displaystyle \mu >180^{\circ }}$ (konvexes Viereck).

• 
  Fall 2: ${\displaystyle AMBP}$ ist ein reguläres, nicht überschlagenes Viereck.

3. Fall${\displaystyle \colon }$ AMBP ist ein überschlagenes Viereck

Da das Dreieck ${\displaystyle APM}$ gleichschenklig ist, sind die Winkel ${\displaystyle \angle PAM}$ und ${\displaystyle \angle MPA}$ beide gleich groß, hier: ${\displaystyle \delta }$. Auch das Dreieck ${\displaystyle BPM}$ ist gleichschenklig, somit muss ${\displaystyle \angle PBM=\varphi +\delta }$ gelten. Da die Scheitelwinkel beim Schnittpunkt ${\displaystyle Q}$ gleich groß sind, müssen sich die beiden anderen Winkel der Dreiecke ${\displaystyle QMA}$ und ${\displaystyle QBP}$ zur selben Summe addieren:

${\displaystyle \angle AMQ+\angle QAM=\angle QPB+\angle PBQ}$

Durch Einsetzen folgt

${\displaystyle \mu +\delta =\varphi +(\varphi +\delta )=2\varphi +\delta }$,

${\displaystyle \mu =2\varphi }$.

• 
  Fall 3: ${\displaystyle AMBP}$ ist ein überschlagenes Viereck.

In allen drei Fällen ergibt sich, wie behauptet, ${\displaystyle \mu =2\varphi }$.

Beweis 3

Dieser Beweis verwendet die Parallelverschiebung, die den Kreismittelpunkt ${\displaystyle M}$ in den Punkt ${\displaystyle P}$ überführt. Der zugehörige Verschiebungsvektor ist also ${\displaystyle {\vec {MP}}}$. Die Bildpunkte von ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ bezüglich dieser Verschiebung seien mit ${\displaystyle A'}$ bzw. ${\displaystyle B'}$ bezeichnet. Die Verschiebung bildet das Dreieck ${\displaystyle ABM}$ auf das Dreieck ${\displaystyle A'B'P}$ ab. Da sich die Winkelgröße bei einer Verschiebung nicht ändert, gilt ${\displaystyle \angle A'PB'=\angle AMB=\mu }$. Die Vierecke ${\displaystyle AMPA'}$ und ${\displaystyle BB'PM}$ sind Rauten, denn alle ihre Seitenlängen stimmen mit dem Kreisradius überein. Es kann nun die Tatsache ausgenützt werden, dass die Innenwinkel der beiden Rauten mit dem Scheitel ${\displaystyle P}$ durch die Diagonalen ${\displaystyle {\overline {AP}}}$ bzw. ${\displaystyle {\overline {BP}}}$ halbiert werden. Die Winkelgrößen ${\displaystyle \mu }$ (Mittelpunktswinkel) und ${\displaystyle \phi }$ (Umfangswinkel) lassen sich durch die Größen dieser Innenwinkel ausdrücken. Allerdings ist auch hier eine Fallunterscheidung nötig.

1. Fall${\displaystyle \colon }$ Viereck AMBP nicht überschlagen

${\displaystyle \mu }$ ist gleich der Summe der Innenwinkel der beiden Rauten bei ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle \phi }$ die Summe der halbierten Innenwinkel. Dies gilt gleichermaßen für ${\displaystyle \mu <180^{\circ }}$, ${\displaystyle \mu =180^{\circ }}$ und ${\displaystyle \mu >180^{\circ }}$.

2. Fall${\displaystyle \colon }$ A, M, P oder B, M, P auf einer Geraden

Die Argumentation ist wie im 1. Fall, allerdings verschwindet eine der beiden Rauten. ${\displaystyle \mu }$ ist so groß wie der nicht verschwindende Innenwinkel bei ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle \phi }$ halb so groß.

3. Fall${\displaystyle \colon }$ Viereck AMBP überschlagen

${\displaystyle \mu }$ ist gleich der Differenz der Innenwinkel der beiden Rauten bei ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle \phi }$ die Differenz der halbierten Innenwinkel.

Zusammenfassung${\displaystyle \colon }$ Der Mittelpunktswinkel ${\displaystyle \mu }$ ist doppelt so groß wie der Umfangswinkel ${\displaystyle \phi }$.

Umfangswinkelsatz

Der Umfangswinkelsatz wird in der Elementargeometrie des Öfteren für Begründungen verwendet, etwa bei den Beweisen des Sehnensatzes und des Sekantensatzes mithilfe ähnlicher Dreiecke.

Der Beweis des nachfolgenden Anwendungsbeispiels beruht auf einer mehrfachen Anwendung des Umfangswinkelsatzes (Bild 1):

Gegeben seien drei Geraden ${\displaystyle g_{1}}$, ${\displaystyle g_{2}}$ und ${\displaystyle g_{3}}$, die sich im Punkt ${\displaystyle S}$ schneiden. Von einem Punkt ${\displaystyle P\neq S}$ werden jeweils die Lote auf ${\displaystyle g_{1}}$, ${\displaystyle g_{2}}$ und ${\displaystyle g_{3}}$ gefällt.

Dann stimmen die Innenwinkelweiten des entstandenen Dreiecks ${\displaystyle ABC}$ mit den Schnittwinkelweiten der drei Geraden überein.

Beweis:

Betrachtet wird der Thaleskreis ${\displaystyle k}$ über der Strecke ${\displaystyle {\overline {PS}}}$ mit verschiedenen Peripheriewinkeln.

• Die Winkel ${\displaystyle \angle BAC}$ und ${\displaystyle \angle BSC}$ sind Umfangswinkel über dem zur Sehne ${\displaystyle {\overline {BC}}}$ gehörigen (kleineren) Kreisbogen und haben deshalb dieselbe Weite ${\displaystyle \alpha }$.
• Die Winkel ${\displaystyle \angle ACB}$ und ${\displaystyle \angle ASB}$ sind Umfangswinkel über dem zur Sehne ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ gehörigen (kleineren) Kreisbogen und haben deshalb dieselbe Weite ${\displaystyle \gamma }$.
• Die Winkel ${\displaystyle \angle g_{1}g_{3}}$ und ${\displaystyle \angle CBA}$ haben wegen ${\displaystyle \beta =180^{\circ }-\alpha -\gamma }$ dieselbe Weite ${\displaystyle \beta }$.

Damit ist die Aussage bewiesen.

Für den Spezialfall, dass die drei Geraden sich im Punkt ${\displaystyle S}$ unter einem Winkel von jeweils ${\displaystyle 60^{\circ }}$ schneiden, ergibt sich mit ${\displaystyle \alpha =\beta =\gamma }$ als unmittelbare Folgerung (Bild 2):

Gegeben seien drei Geraden ${\displaystyle g_{1}}$, ${\displaystyle g_{2}}$ und ${\displaystyle g_{3}}$, die sich im Punkt ${\displaystyle S}$ unter einem Winkel von jeweils ${\displaystyle 60^{\circ }}$ schneiden. Von einem Punkt ${\displaystyle P\neq S}$ werden jeweils die Lote auf ${\displaystyle g_{1}}$, ${\displaystyle g_{2}}$ und ${\displaystyle g_{3}}$ gefällt.

Dann ist das Dreieck ${\displaystyle ABC}$ gleichseitig.

Kreiswinkelsatz

Der Kreiswinkelsatz eignet sich, um etwa den Satz von Cardano zu begründen, aber auch als Konstruktionsbaustein zur Lösung z. B. folgender Aufgaben:

• Zeichne ein Vierzigeck, bei dem die Seitenlänge ${\displaystyle a}$ gegeben ist.

Hierfür wird zuerst der Umkreis eines Zehnecks mit nur einer Seitenlänge ${\displaystyle a}$ konstruiert und anschließend zweimal hintereinander der Kreiswinkelsatz angewendet.

• Die Dreiteilung des Winkels mithilfe der Hyperbel; bereits im 4. Jhdt. nutzte Pappos für deren Lösung die Eigenschaften dieses Satzes (Bild 3).
• Es ist aus einer vorgegebenen Seitenlänge ${\displaystyle a}$ ein Polygon zu konstruieren, das die doppelte Anzahl Ecken eines Polygons mit gleicher Seitenlänge hat (Bild 4).
• Es ist aus einer vorgegebenen Seitenlänge ${\displaystyle a}$ ein Polygon zu konstruieren, das die halbe Anzahl Ecken eines Polygons mit gleicher Seitenlänge hat (Bild 5).