Pivotmatrix

Eine Pivotmatrix ist in der linearen Algebra eine Matrix, die in jeder ihrer Zeilen und in jeder ihrer Spalten höchstens ein von null verschiedenes Element aufweist.

Diese Elemente heißen entsprechend Pivots oder Pivotelemente. Pivotmatrizen entstehen bei der Äquivalenztransformation einer Matrix bei den Algorithmen von Gauß, Banachiewicz und Gauß-Jordan. Permutations- und Diagonalmatrizen sind spezielle Pivotmatrizen. Diese müssen jedoch nicht quadratisch sein.

Definition

Eine Matrix A ∈ K^n×m mit Einträgen aus einem Körper K ist eine Pivotmatrix, wenn jede ihrer n Zeilen und jede ihrer m Spalten höchstens ein von null verschiedenes Element A_ij enthält.

Eigenschaften

Eine n×m Pivotmatrix A hat die folgenden Eigenschaften:

Der Rang der Pivotmatrix ist gleich der Anzahl der von null verschiedenen Pivotelemente in der Matrix.
Jede zur Pivotmatrix äquivalente Matrix hat denselben Rang wie die Pivotmatrix.
Die Pivotmatrix heißt spaltenregulär, wenn sie keine Nullspalte enthält, und zeilenregulär, wenn sie keine Nullzeile besitzt, mithin jede ihrer n Spalten (m Zeilen) mit einem Pivot ungleich null besetzt ist. Für ihren Rang r bedeutet das:

bei Spaltenregularität mit	m ≥ n:	r ＝ n und
bei Zeilenregularität mit	m ≤ n:	r ＝ m.

Es gibt Permutationsmatrizen P ∈ K^n×n, Q ∈ K^m×m sodass PAQ eine Diagonalmatrix ist. Deren Hauptdiagonale enthält dann alle Pivotelemente der Matrix.
Werden in der transponierten Matrix alle von null verschiedenen Pivots durch ihre Kehrwerte ersetzt, dann ist das Produkt der so erhaltenen Matrix mit der ursprünglichen eine Diagonalmatrix, die nur Nullen und Einsen aufweist.
Die inverse einer regulären Pivotmatrix entsteht entsprechend durch Transposition und Ersatz aller Pivots durch ihre Kehrwerte.

Literatur

↑ R. Zurmühl, S. Falk: Matrizen und ihre Anwendungen 1. Grundlagen, Für Ingenieure, Physiker und Angewandte Mathematiker. Springer, Berlin u. a. 1997, ISBN 3-540-61436-2, S. 75.
↑ Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 2. Auflage. Band 4 (Moo bis Sch). Springer Spektrum Verlag, Mannheim 2017, ISBN 978-3-662-53499-1, S. 199, doi:10.1007/978-3-662-53500-4.

[Zurmuehl-1] R. Zurmühl, S. Falk: Matrizen und ihre Anwendungen 1. Grundlagen, Für Ingenieure, Physiker und Angewandte Mathematiker. Springer, Berlin u. a. 1997, ISBN 3-540-61436-2, S. 75.

[Lexikon-2] Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 2. Auflage. Band 4 (Moo bis Sch). Springer Spektrum Verlag, Mannheim 2017, ISBN 978-3-662-53499-1, S. 199, doi:10.1007/978-3-662-53500-4.