Poisson-Approximation

Die Poisson-Approximation ist in der Wahrscheinlichkeitsrechnung eine Möglichkeit, die Binomialverteilung und die verallgemeinerte Binomialverteilung für große Stichproben und kleine Wahrscheinlichkeiten durch die Poisson-Verteilung anzunähern. Durch den Grenzübergang nach unendlich erhält man dann die Konvergenz in Verteilung der beiden Binomialverteilungen gegen die Poisson-Verteilung.

Formulierung

Ist $(S_{n})$ eine Folge binomialverteilter Zufallsvariablen mit Parametern $n \in ℕ$ und $p_{n}$ , sodass für die Erwartungswerte $E (S_{n}) = n \cdot p_{n} \to λ > 0$ für $n \to \infty$ gilt, dann folgt

P (S_{n} = k) = B_{n, p_{n}} ({k}) \to \frac{λ^{k}}{k!} e^{- λ} = P_{λ} ({k})

für $n \to \infty$ .

Beweis-Skizze

Der Wert einer Poisson-verteilten Zufallsvariable an der Stelle $k$ ist der Grenzwert $n \to \infty$ einer Binomialverteilung mit $p = \frac{λ}{n}$ an der Stelle $k$ :

\begin{matrix} lim_{n \to \infty} P (S_{n} = k) & = lim_{n \to \infty} (\binom{n}{k}) p^{k} (1 - p)^{n - k} \\ = lim_{n \to \infty} \frac{n!}{k! (n - k)!} {(\frac{λ}{n})}^{k} {(1 - \frac{λ}{n})}^{n - k} \\ = lim_{n \to \infty} (\frac{λ^{k}}{k!}) (\frac{n (n - 1) (n - 2) \dots (n - k + 1)}{n^{k}}) {(1 - \frac{λ}{n})}^{n} {(1 - \frac{λ}{n})}^{- k} \\ = \frac{λ^{k}}{k!} \cdot lim_{n \to \infty} \underset{\to 1}{\underset{⏟}{(\frac{n}{n} \cdot \frac{n - 1}{n} \cdot \frac{n - 2}{n} \dots \frac{n - k + 1}{n})}} \underset{\to e^{- λ}}{\underset{⏟}{{(1 - \frac{λ}{n})}^{n}}} \underset{\to 1}{\underset{⏟}{{(1 - \frac{λ}{n})}^{- k}}} \\ = \frac{λ^{k} e^{- λ}}{k!} . \end{matrix}

Bei großen Stichproben und kleinem $p$ lässt sich folglich die Binomialverteilung gut durch die Poisson-Verteilung approximieren.

Die Darstellung als Grenzwert der Binomialverteilung erlaubt eine alternative Berechnung von Erwartungswert und Varianz der Poisson-Verteilung. Seien $X_{1}, \dots, X_{n} n$ unabhängige bernoulliverteilte Zufallsvariablen mit $p = λ / n$ und sei $S_{n} := X_{1} + \dots + X_{n}$ . Für $n \to \infty$ gilt $S_{n} \sim P_{λ}$ und

\begin{matrix} E (S_{n}) & = E (X_{1}) + \dots + E (X_{n}) = \underset{n m a l}{\underset{⏟}{\frac{λ}{n} + \dots + \frac{λ}{n}}} = λ \to λ \\ Var (S_{n}) & = Var (X_{1}) + \dots + Var (X_{n}) \\ = \underset{n m a l}{\underset{⏟}{\frac{λ}{n} (1 - \frac{λ}{n}) + \dots + \frac{λ}{n} (1 - \frac{λ}{n})}} = λ (1 - \frac{λ}{n}) \to λ . \end{matrix}

Güte der Approximation

Für die Fehlerabschätzung gilt

\sum_{k \geq 0} | B_{n, p} ({k}) - P_{n \cdot p} ({k}) | \leq 2 n p^{2}

.

Die Approximation einer Summe von Bernoulli-verteilten Zufallsvariablen (bzw. einer binomialverteilten Zufallsvariable) ist also insbesondere für kleine $p$ gut. Als Faustregel gilt, dass die Approximation gut ist, wenn $n \geq 50$ und $p \leq 0,05$ gilt. Ist $p \approx 0,5$ , so ist die Normal-Approximation besser geeignet.

Le Cams Verallgemeinerung

Allgemeiner lässt sich Folgendes zeigen: Seien $X_{1}, \dots, X_{n}$ stochastisch unabhängige Zufallsvariablen mit $P (X_{i} = 1) = p_{i} = 1 - P (X_{i} = 0)$ (jede Zufallsvariable ist also Bernoulli-verteilt), dann ist

S := \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

verallgemeinert binomialverteilt. Definiere

λ := \sum_{i = 1}^{n} p_{i}

,

dann gilt

\sum_{k = 0}^{\infty} | P (S = k) - \exp (- λ) \frac{λ^{k}}{k!} | \leq 2 \sum_{i = 1}^{n} p_{i}^{2}

.

Im Englischen ist dieses Resultat als „Ungleichung von Le Cam“ (Le Cam’s Inequality) bekannt.

Gilt $p_{i} = p_{j}$ für alle $1 \leq i, j \leq n$ , so ist $S$ binomialverteilt und das obige Ergebnis folgt sofort.

Beispiel

Ein Individuum einer Spezies zeugt $n = 1000$ Nachkommen, die alle stochastisch unabhängig voneinander mit einer Wahrscheinlichkeit von $p_{i} = 0,001$ das geschlechtsreife Alter erreichen. Interessiert ist man nun an der Wahrscheinlichkeit, dass zwei oder mehr Nachkommen das geschlechtsreife Alter erreichen.

Exakte Lösung

Sei $X_{i} = 1$ die Zufallsvariable „Der $i$ -te Nachkomme erreicht das geschlechtsreife Alter“. Es gilt $P (X_{i} = 1) = p_{i}$ und $P (X_{i} = 0) = 1 - p_{i}$ für alle $i$ . Dann ist die Anzahl der überlebenden Nachkommen $S := \sum_{i = 1}^{n} X_{i}$ aufgrund der stochastischen Unabhängigkeit $B_{n, p}$ -verteilt. Zur Modellierung definiert man den Wahrscheinlichkeitsraum $(Ω, Σ, P)$ mit der Ergebnismenge $Ω := {0, \dots, n}$ , der Anzahl der überlebenden geschlechtsreifen Nachkommen. Die σ-Algebra ist dann kanonisch die Potenzmenge der Ergebnismenge: $Σ := 𝒫 (Ω)$ und als Wahrscheinlichkeitsverteilung die Binomialverteilung: $P ({k}) := B_{n, p} ({k})$ . Gesucht ist $P (S \geq 2) = 1 - P (S = 1) - P (S = 0) = 1 - B_{1000; 0,001} ({0}) - B_{1000; 0,001} ({1}) \approx 0,2642$ . Es erreichen also mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 26 % mindestens zwei Individuen das geschlechtsreife Alter.

Approximierte Lösung

Da $n$ ausreichend groß und $p$ ausreichend klein ist, lässt sich die Binomialverteilung genügend genau mittels der Poisson-Verteilung annähern. Diesmal ist der Wahrscheinlichkeitsraum $(Ω, Σ, P)$ definiert mittels des Ergebnisraums $Ω := ℕ$ , der $σ$ -Algebra $Σ := 𝒫 (ℕ)$ und der Poisson-Verteilung als Wahrscheinlichkeitsverteilung $P ({k}) := P_{λ} ({k}) = \frac{λ^{k}}{k!} e^{- λ}$ mit dem Parameter $λ = n \cdot p = 1$ . Man beachte hier, dass die beiden modellierten Wahrscheinlichkeitsräume unterschiedlich sind, da die Poisson-Verteilung auf einem endlichen Ergebnisraum keine Wahrscheinlichkeitsverteilung definiert. Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei Individuen das geschlechtsreife Alter erreichen, ist also $P (S \geq 2) \approx 1 - P_{λ} ({1}) - P_{λ} ({0}) = 1 - \frac{λ^{1}}{1!} e^{- 1} - \frac{λ^{0}}{0!} e^{- 1} \approx 0,2642$ .

Bis auf vier Nachkommastellen stimmt also die exakte Lösung mit der Poisson-Approximation überein.

Siehe auch

Zwei-Drittel-Gesetz (auch Gesetz der kleinen Zahlen genannt)

Weblinks

A.V. Prokhorov: Poisson theorem. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).

Eric W. Weisstein: Poisson theorem. In: MathWorld (englisch).

Literatur

Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.
Ulrich Krengel: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Für Studium, Berufspraxis und Lehramt. 8. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2005, ISBN 3-8348-0063-5, doi:10.1007/978-3-663-09885-0.
Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7, doi:10.1515/9783110215274.

Einzelnachweise

↑ Eric W. Weisstein: Le Cam's Inequality. In: Mathworld. Abgerufen am 18. November 2023.

[1] Eric W. Weisstein: Le Cam's Inequality. In: Mathworld. Abgerufen am 18. November 2023.