Potentialfunktionmethode

In der Komplexitätstheorie wird die Potential- bzw. Potentialfunktionmethode verwendet, um die amortisierte Zeit- und Speicherkomplexität von Datenstrukturen zu messen. Dabei wird die Komplexität über eine Sequenz von Operationen berechnet, was die Kosten von seltenen, aber teuren Operationen auf die Sequenz von Operationen verteilt und damit glättet.

Ziel dabei ist es, jeder Operation auf der betrachteten Datenstruktur einen mittleren Kostenwert zuzuweisen, um über diese die erwartete Laufzeit einer beliebigen Folge von Operationen nach oben abzuschätzen. Im Unterschied zur Bankkonto-Methode werden die Kosten $a_{i}$ einer Operation $O p_{i}$ nicht im Voraus festgesetzt, sondern hergeleitet. Hierzu wird eine Potentialfunktion $Φ : D_{i} \to ℝ$ eingeführt. Diese ordnet jedem inneren Zustand $D_{i}$ der Datenstruktur ihr Potential zu. Seien $c_{i}$ nun die maximalen realen Kosten der Operation $O p_{i}$ , so ergibt sich der amortisierte Aufwand $a_{i}$ als:

a_{i} = c_{i} + Φ (D_{i}) - Φ (D_{i - 1})

Gilt nun, dass das Potential des Initialzustandes $D_{0}$ für alle Operationen $O p_{i}$ einer beliebigen Operationenfolge nie unterschritten wird:

\forall i \in {1, \dots, n} : Φ (D_{0}) \leq Φ (D_{i})

Dann ist die Summe der realen Kosten nie höher als die der amortisierten Kosten:

\sum_{i = 1}^{n} c_{i} \leq \sum_{i = 1}^{n} a_{i}

Existiert nun beispielsweise eine Konstante $C$ , welche die obere Grenze der amortisierten Kosten jeder Operation angibt:

i \in {1, \dots, n} : a_{i} \leq C

So können die Gesamtkosten der Operationenfolge mit $n$ Operationen mit:

\sum_{i = 1}^{n} c_{i} \leq n \cdot C

angegeben werden.

Literatur

Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, Clifford Stein: Introduction to Algorithms. 2. Auflage. MIT Press, Cambridge MA 2001, ISBN 0-262-03293-7, S. 412–415 (englisch).

Quellen

↑ Kurt Mehlhorn, Peter Sanders: Algorithms and Data Structures, 2008 Springer-Verlag Berlin Heidelberg, Kapitel 3.3.1 The Potential or Bank Account Method for Amortized Analysis, S. 72–74

[mehlhorn-1] Kurt Mehlhorn, Peter Sanders: Algorithms and Data Structures, 2008 Springer-Verlag Berlin Heidelberg, Kapitel 3.3.1 The Potential or Bank Account Method for Amortized Analysis, S. 72–74