Primmodell

In der Modelltheorie, einem Teilgebiet der mathematischen Logik, nennt man ein Modell einer Theorie Primmodell, wenn sich dieses Modell in jedes Modell dieser Theorie elementar einbetten lässt.

Definition

Im Folgenden ist ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ eine abzählbare Theorie ohne endliche Modelle.

${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ ist ein Primmodell der Theorie ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ genau dann, wenn für alle ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ mit ${\displaystyle {\mathfrak {B}}\models {\mathcal {T}}}$ eine Abbildung ${\displaystyle \Phi }$ existiert mit ${\displaystyle \Phi$ :{\mathfrak {A\hookrightarrow B}}}

Beispiele

• Der algebraische Abschluss des Primkörpers ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ (bzw. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$) ist ein Primmodell der Theorie der algebraisch abgeschlossenen Körper der Charakteristik ${\displaystyle p}$ (bzw. 0).
• ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ist ein Primmodell der dichten linearen Ordnungen ohne Extrema.

Eigenschaften

• Aus dem Satz von Löwenheim-Skolem folgt, dass ein Primmodell abzählbar ist.
• Ist ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$-kategorisch, so ist das abzählbare Modell ein Primmodell.
• Zwei Primmodelle einer Theorie sind isomorph.
• Eine Theorie hat genau dann ein Primmodell, wenn die isolierten Typen dicht liegen.

Beispiel einer Theorie ohne Primmodell

Folgende Theorie der Sprache ${\displaystyle L}$ besitzt kein Primmodell: Die Sprache ${\displaystyle L}$ enthält für jedes ${\displaystyle s\in }$ ${\displaystyle {}^{<\omega }2}$ ein einstelliges Prädikat ${\displaystyle P_{s}}$.

(Zur Notation: ${\displaystyle {}^{<\omega }2}$ ist die Menge aller endliche Folgen, die nur aus Nullen oder Einsen bestehen.)

Die Axiome der Theorie sind (${\displaystyle s}$ durchläuft alle endlichen Folgen):

${\displaystyle \forall xP_{0}(x)}$

${\displaystyle \exists xP_{s}(x)}$

${\displaystyle \forall x((P_{s0}(x)\lor P_{s1}(x))\leftrightarrow P_{s}(x))}$

${\displaystyle \forall x\neg (P_{s0}(x)\land P_{s1}(x))}$

Die Theorie hat keine isolierten Typen und daher auch kein Primmodell.

Literatur

• Wilfrid Hodges: Model theory. Cambridge University Press, 1993, ISBN 0-521-30442-3.
• Chang, Chen C., Keisler, H.Jerome: Model Theory. Amsterdam [u. a.], North-Holland, 1998.
• Prestel, Alexander: Einführung in die Mathematische Logik und Modelltheorie. Vieweg, Braunschweig 1986. (Vieweg-Studium; 60: Aufbaukurs Mathematik). ISBN 3-528-07260-1. 286 S.
• Philipp Rothmaler: Einführung in die Modelltheorie. Spektrum Akademischer Verlag, 1995, ISBN 978-3-86025-461-5.

Weblinks

• Martin Ziegler: Skript Modelltheorie 1. (PDF; 649 kB)