Prinzip vom Argument

Das Prinzip vom Argument ist ein Satz aus der Funktionentheorie, der die mit Vielfachheiten gezählten Polstellen und ${\displaystyle w}$-Stellen einer meromorphen Funktion durch ein Integral ausdrückt.

Aussage

Sei ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {C} }$ offen und zusammenhängend. Sei ${\displaystyle f\colon \Omega \rightarrow {\overline {\mathbb {C} }}}$ eine meromorphe Funktion, sodass ${\displaystyle f\neq 0}$. Sei ${\displaystyle w\in \mathbb {C} }$, ${\displaystyle N=\{z\in \Omega \mid f(z)=w\}}$ die Menge der ${\displaystyle w}$-Stellen und ${\displaystyle P=\{z\in \Omega \mid f(z)=\infty \}}$ die Menge der Polstellen von ${\displaystyle f}$. Seien ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{N}}$ und ${\displaystyle m\in \mathbb {N} ^{P}}$ die jeweiligen Vielfachheiten. Sei ${\displaystyle \gamma }$ ein in ${\displaystyle \Omega }$ gelegener nullhomologer Zyklus, sodass ${\displaystyle \forall z\in N\cup P:z\notin \mathrm {Bild} (\gamma )}$ gilt. Dann folgt

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f'(z)}{f(z)-w}}\mathrm {d} z=\sum _{z\in N}{\operatorname {ind} _{\gamma }(z)n(z)}-\sum _{z\in P}{\operatorname {ind} _{\gamma }(z)m(z)}}$,

wobei ${\displaystyle \operatorname {ind} _{\gamma }(z)}$ die Umlaufzahl des Zyklus ${\displaystyle \gamma }$ um ${\displaystyle z}$ bezeichnet.

Bemerkungen

Das Prinzip vom Argument ist eine einfache Folge aus dem Residuensatz. Als Anwendung lässt sich beispielsweise der Satz von Rouché herleiten.

Einzelnachweise

1. ↑ Dietmar A. Salamon: Funktionentheorie, Springer, Basel 2012, ISBN 9783034801683, Kap 4.5: Das Prinzip vom Argument.
2. ↑ Wolfgang Fischer, Ingo Lieb: Funktionentheorie. Vieweg-Verlag 1980, ISBN 3-528-07247-4, Kapitel IV Isolierte Singularitäten, Satz 7.1