Problem von Bernstein

In der Mathematik bezeichnet man als Problem von Bernstein die Fragestellung, ob der Graph einer Funktion ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n-1}\to \mathbb {R} }$ nur dann eine Minimalfläche im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ist, wenn die Funktion affin ist. Die Antwort ist positiv für ${\displaystyle n\leq 8}$, aber negativ für ${\displaystyle n\geq 9}$.

Mathematische Formulierung

Für eine Funktion ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n-1}\to \mathbb {R} }$ ist ihr Graph eine Hyperfläche im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ und er ist genau dann eine Minimalfläche, wenn ${\displaystyle f}$ eine Lösung der Differentialgleichung

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n-1}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left({\frac {1}{\sqrt {1+\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}\right)^{2}}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\right)=0}$

ist. Offensichtlich sind alle affinen Funktionen ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=a_{1}x_{1}+\ldots +a_{n}x_{n}+b}$ Lösungen dieser Differentialgleichung, weil in diesem Fall ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}\right)^{2}}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}}$ eine Konstante ist. Das Problem von Bernstein fragt, ob es darüber hinaus noch weitere Lösungen dieser Differentialgleichung gibt.

Historie

• Für ${\displaystyle n=3}$ wurde das Problem 1914 von Sergei Natanowitsch Bernstein gelöst.
• Für ${\displaystyle n=4}$ wurde das Problem 1965 von Ennio De Giorgi gelöst.
• Für ${\displaystyle n=5}$ wurde das Problem 1966 von Frederick Almgren gelöst.
• Für ${\displaystyle n\leq 8}$ wurde das Problem 1968 von James Simons gelöst.
• Für ${\displaystyle n\geq 9}$ bewiesen Enrico Bombieri, Ennio De Giorgi und Enrico Giusti aufbauend auf der Arbeit von James Simons, dass der Satz von Bernstein nicht zutrifft.

Einzelnachweise

1. ↑ S. N. Bernstein, Sur une théorème de géometrie et ses applications aux équations dérivées partielles du type elliptique, Comm. Soc. Math. Kharkov, Band 15, 1915–1917, S. 38–45
2. ↑ E. De Giorgi, Una estensione del teorema di Bernstein. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3) 19, 79–85, 1965.
3. ↑ F. Almgren, Some interior regularity theorems for minimal surfaces and an extension of the Bernstein's theorem, Ann. of Math., Band 85, 1966, S. 277–292
4. ↑ J. Simons, Minimal varieties in Riemannian Manifolds, Annals of Mathematics, Band 88, 1968, S. 62–105.
5. ↑ E. Bombieri, E. De Giorgi, E. Giusti, Minimal cones and the Bernstein problem, Inventiones Mathematicae 7 (1969) 243–268