Ein -Analogon (Pl. -Analoga) ist ein mathematischer Begriff, welcher insbesondere in der Kombinatorik auftritt. Ein -Analogon verallgemeinert dabei eine mathematische Aussage mit Hilfe eines zusätzlichen Parameters , so dass man im Fall wieder die ursprüngliche Aussage erhält. Der Begriff spielt auch eine wichtige Rolle in der Theorie der speziellen Funktionen insbesondere in der Theorie der -Polynome.
Eine natürliche Zahl besitzt das -Analogon
da .
Die -Fakultät ist für
und .
Durch ausmultiplizieren erhält man
Das -Pochhammer-Symbol, auch -Shiftfakultät genannt, ist
oder allgemeiner
Der -Binomialkoeffizient ist
Es gilt
und
Das -Analogon der verallgemeinerten hypergeometrischen Funktion ist die -hypergeometrische Funktion
Die stetigen -Hermitischen Polynome sind durch folgende Rekursion gegeben
mit Anfangswerten
Das -Analogon der Exponentialfunktion ist
Das -Analogon der Ableitung einer Funktion ist die Q-Differenz
dadurch entsteht das sogenannte -Kalkül.
Das -Analogon von ist
zusammen mit der -Differenz und der -Fakultät lässt sich nun ein -Analogon zur Taylorreihe für herleiten
![{\displaystyle [n]_{q}:={\frac {1-q^{n}}{1-q}}=1+q+q^{2}+\cdots +q^{n-1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1229d48f813c876ff707ad8166e1124d42311f44)
![{\displaystyle \lim _{q\rightarrow 1}[n]_{q}=n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7aa0e24abc7002668ed0dfb715146b12667c1cd)
![{\displaystyle [n]_{q}!:=[n]_{q}[n-1]_{q}\cdots [1]_{q}=\prod \limits _{k=1}^{n}{\frac {1-q^{k}}{1-q}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2df14de70919ff373013473c25be7314ac4c94f0)
![{\displaystyle [0]_{q}!:=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a5fe7802f3a639d11cd85f58a1d82e7bf38dd19)
![{\displaystyle [n]_{q}!=1\cdot (1+q)\cdots (1+q+\cdots +q^{n-2})\cdot (1+q+\cdots +q^{n-1}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b8f485fa026fd2038b3ec8cf0d9e87e3d40c4d7)
![{\displaystyle {\binom {n}{k}}_{q}:={\frac {[n]_{q}!}{[k]_{q}![n-k]_{q}!}}=\prod \limits _{j=1}^{k}{\frac {(1-q^{n-j+1})}{(1-q^{j})}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acf9a19e087b5154a568627a24edf726cc23290e)
![{\displaystyle [n]_{q}!={\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44a4a802c46c694da369a6ec8eb99270e1a0ff9b)
![{\displaystyle \;_{r}\phi _{s}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{r}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{s}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{r};q)_{n}}{(q,b_{1},b_{2},\ldots ,b_{s};q)_{n}}}z^{n}\left(-q^{(n-1)/2}\right)^{n(s+1-r)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ee6cb2d96fb9effb761102d5e9107862f3da590)
![{\displaystyle e_{q}^{x}:=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{[n]_{q}!}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3e67725d2471da70f47286cf5c9ffbce92d0d2d)
![{\displaystyle f(x)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {D_{q}^{n}f(a)(x-a)_{q}^{n}}{[n]_{q}!}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d2e2a813996d5e4dc4085e03738ee561a753721)