Q-Analogon

Ein $q$ -Analogon (Pl. $q$ -Analoga) ist ein mathematischer Begriff, welcher insbesondere in der Kombinatorik auftritt. Ein $q$ -Analogon verallgemeinert dabei eine mathematische Aussage mit Hilfe eines zusätzlichen Parameters $q$ , so dass man im Fall $q \to 1$ wieder die ursprüngliche Aussage erhält. Der Begriff spielt auch eine wichtige Rolle in der Theorie der speziellen Funktionen insbesondere in der Theorie der $q$ -Polynome.

Elementare Beispiele

Eine natürliche Zahl $n$ besitzt das $q$ -Analogon

[n]_{q} := \frac{1 - q^{n}}{1 - q} = 1 + q + q^{2} + \dots + q^{n - 1},

da $lim_{q \to 1} [n]_{q} = n$ .

Kombinatorik

q-Fakultät

Die $q$ -Fakultät ist für $n > 0$

[n]_{q}! := [n]_{q} [n - 1]_{q} \dots [1]_{q} = \prod_{k = 1}^{n} \frac{1 - q^{k}}{1 - q},

und $[0]_{q}! := 1$ .

Durch ausmultiplizieren erhält man

[n]_{q}! = 1 \cdot (1 + q) \dots (1 + q + \dots + q^{n - 2}) \cdot (1 + q + \dots + q^{n - 1}) .

q-Pochhammer-Symbol

Das $q$ -Pochhammer-Symbol, auch $q$ -Shiftfakultät genannt, ist

(a; q)_{n} := \prod_{k = 1}^{n} (1 - a q^{k - 1})

oder allgemeiner

(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{m}; q)_{n} := (a_{1}; q)_{n} (a_{2}; q)_{n} \dots (a_{m}; q)_{n} .

q-Binomialkoeffizient

Der $q$ -Binomialkoeffizient ist

{(\binom{n}{k})}_{q} := \frac{[n]_{q}!}{[k]_{q}! [n - k]_{q}!} = \prod_{j = 1}^{k} \frac{(1 - q^{n - j + 1})}{(1 - q^{j})} .

Eigenschaften

Es gilt

[n]_{q}! = \frac{(q; q)_{n}}{(1 - q)^{n}}

und

{(\binom{n}{k})}_{q} = \frac{(q; q)_{n}}{(q; q)_{k} (q; q)_{n - k}} .

q-Spezielle Funktionen

q-hypergeometrische Funktion

Das $q$ -Analogon der verallgemeinerten hypergeometrischen Funktion ist die $q$ -hypergeometrische Funktion

_{r} ϕ_{s} [\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & \dots & a_{r} \\ b_{1} & b_{2} & \dots & b_{s} \end{matrix}; q, z] = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{r}; q)_{n}}{(q, b_{1}, b_{2}, \dots, b_{s}; q)_{n}} z^{n} {(- q^{(n - 1) / 2})}^{n (s + 1 - r)} .

q-orthogonale Polynome

Die stetigen $q$ -Hermitischen Polynome ${H_{n} (x ∣ q)}$ sind durch folgende Rekursion gegeben

2 x H_{n} (x ∣ q) = H_{n + 1} (x ∣ q) + (1 - q^{n}) H_{n - 1} (x ∣ q)

mit Anfangswerten

H_{0} (x ∣ q) = 1, H_{1} (x ∣ q) = 2 x .

Analysis

Das $q$ -Analogon der Exponentialfunktion ist

e_{q}^{x} := \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{[n]_{q}!} .

q-Kalkül

Das $q$ -Analogon der Ableitung einer Funktion $f$ ist die Q-Differenz

(D_{q} f) (x) = \frac{f (x) - f (q x)}{(1 - q) x},

dadurch entsteht das sogenannte $q$ -Kalkül.

q-Taylorreihe

Das $q$ -Analogon von $(x - a)^{n}$ ist

(x - a)_{q}^{n} := \prod_{k = 0}^{n - 1} (x - q^{k} a),

zusammen mit der $q$ -Differenz und der $q$ -Fakultät lässt sich nun ein $q$ -Analogon zur Taylorreihe für $f$ herleiten

f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{D_{q}^{n} f (a) (x - a)_{q}^{n}}{[n]_{q}!} .

Literatur

Mourad E.H. Ismail: Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable. Hrsg.: Cambridge University Press. 2005, doi:10.1017/CBO9781107325982.

Einzelnachweise

1 2 Mourad E.H. Ismail: Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable. Hrsg.: Cambridge University Press. 2005, S. 299, doi:10.1017/CBO9781107325982.
↑ Mourad E.H. Ismail: Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable. Hrsg.: Cambridge University Press. 2005, S. 319, doi:10.1017/CBO9781107325982.

[Ismail-299-1] 1 2 Mourad E.H. Ismail: Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable. Hrsg.: Cambridge University Press. 2005, S. 299, doi:10.1017/CBO9781107325982.

[2] Mourad E.H. Ismail: Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable. Hrsg.: Cambridge University Press. 2005, S. 319, doi:10.1017/CBO9781107325982.