Ramsey-Interferometrie

Die Ramsey Interferometrie, auch als Methode der getrennten oszillierenden Felder bekannt, ist eine Form der Teilcheninterferometrie. Bei dieser wird das Phänomen der magnetischen Resonanz genutzt, um die Übergangsfrequenzen der atomaren Hyperfeinzustände zu messen. Sie wurde 1949 von Norman Ramsey entwickelt, der dabei auf den Ideen seines Mentors Isidor Isaac Rabi aufbaute. Dieser hatte ursprünglich eine Methode zur Messung von Teilchenübergangsfrequenzen entwickelt. Ramseys Methode wird heute in Atomuhren und bei der Definition der Sekunde im Internationalen Einheitensystem (SI) verwendet. Die meisten atomaren Präzisionsmessungen, wie etwa moderne Atominterferometer und Quantenlogik-Gatter, weisen eine Konfiguration vom Ramsey-Typ auf.

Eine modernere Methode, die als Ramsey-Bordé-Interferometrie (Atominterferometer) bekannt ist, nutzt eine Ramsey-Konfiguration und wurde vom französischen Physiker Christian Bordé entwickelt. Bordés Grundidee bestand darin, mithilfe des atomaren Rückstoßes einen Strahlteiler mit unterschiedlichen Geometrien für eine Atomwelle zu erzeugen. Das Ramsey-Bordé-Interferometer nutzt dabei konkret zwei Paare gegenläufiger Wechselwirkungswellen. Bei einer anderen Methode, dem sogenannten Photonen-Echo, kommen dagegen zwei Paare gleichläufiger Wechselwirkungswellen zum Einsatz.

Einleitung

Ein Hauptziel der Präzisionsspektroskopie eines Zwei-Niveau-Atoms ist die Messung der Absorptionsfrequenz $ω_{0}$ zwischen dem Grundzustand $| ↑ ⟩$ und dem angeregten Zustand $| ↓ ⟩$ des Atoms. Eine Möglichkeit, diese Messung durchzuführen, besteht darin, ein externes oszillierendes elektromagnetisches Feld mit der Frequenz $ω$ anzulegen und anschließend die Differenz $δ ω$ (auch als Verstimmung bezeichnet) zwischen $ω$ und $ω_{0}$ $(δ ω = ω - ω_{0})$ zu ermitteln, indem die Wahrscheinlichkeit gemessen wird, mit der $| ↑ ⟩$ in $| ↓ ⟩$ übergeht. Diese Wahrscheinlichkeit $P$ lässt sich maximieren, wenn $δ ω = 0$ ist, d. h. wenn das Ansteuerungsfeld mit der Übergangsfrequenz des Atoms in Resonanz steht. Betrachtet man diese Übergangswahrscheinlichkeit als Funktion der Verstimmung $P (δ ω)$ , so gilt: Je schmaler der Peak um $δ ω = 0$ ist, desto höher ist die Präzision. Wäre die Scheitelbreite sehr groß, etwa bei $δ ω = 0$ , wäre es schwierig, genau zu bestimmen, wo $δ ω = 0$ liegt, da viele Werte von $δ ω$ nahezu die gleiche Wahrscheinlichkeit aufweisen.

Physikalische Grundlagen

Rabi-Verfahren

Eine vereinfachte Version der Rabi-Methode besteht aus einem Atomstrahl, dessen Atome alle die gleiche Geschwindigkeit $v$ und die gleiche Richtung haben. Der Strahl wird durch eine Wechselwirkungszone der Länge $L$ geleitet. Es handelt sich um Zwei-Niveau-Atome mit einer Übergangsenergie von $ℏ ω_{0}$ . Diese wird durch Anlegen eines magnetischen Feldes ${\vec{B}}_{‖}$ in einer Anregungsrichtung ${\vec{e}}_{z}$ definiert, sodass für die die Larmor-Frequenz gilt: $ω_{0} = γ | {\vec{B}}_{‖} |$ . Die Wechselwirkungszeit in der Wechselwirkungszone beträgt: $τ = L / v$ . In dieser wird ein monochromatisches, oszillierendes Magnetfeld senkrecht zur Anregungsrichtung (z. B. proportional zu ${\vec{e}}_{x}$ ) mit der Stärke ${\vec{B}}_{⊥} \cos (ω t)$ angelegt. Im Resonanzfall führt dies zu Rabi-Oszillationen zwischen den Zuständen $| ↓ ⟩$ und $| ↑ ⟩$ mit einer Frequenz von $Ω_{⊥} = γ | {\vec{B}}_{⊥} |$ .

Der Hamilton-Operator im rotierenden Bezugssystem (unter Berücksichtigung der Rotating Wave Approximation, oder Drehwellennäherung) lautet

\hat{H} = - \frac{ℏ δ ω}{2} \hat{σ_{z}} + \frac{ℏ Ω_{⊥}}{2} \hat{σ_{x}}

mit den Operatoren der Pauli-Matrizen $\hat{σ_{x}}$ und $\hat{σ_{z}}$ . Die Übergangswahrscheinlichkeit von $| ↓ ⟩$ nach $| ↑ ⟩$ lässt sich aus diesem Hamilton-Operator berechnen und beträgt

P (δ ω, v, L, Ω_{⊥}) = \frac{1}{1 + {(\frac{δ ω}{Ω_{⊥}})}^{2}} \sin^{2} (\frac{L}{2 v} \sqrt{Ω_{⊥}^{2} + δ ω^{2}}) .

Diese Wahrscheinlichkeit erreicht ihr Maximum, wenn $Ω_{⊥} τ = π$ . Die Linienbreite $Δ ν$ dieses $P (δ ω, Ω_{⊥})$ im Verhältnis zu $δ ω / Ω_{⊥}$ bestimmt die Genauigkeit der Messung. Da $Δ ν \sim Ω_{⊥} \sim π / τ \sim π v / L$ gilt, erhöht sich die Messgenauigkeit, wenn man entweder $τ$ oder $L$ vergrößert und entsprechend den Wert von $Ω_{⊥}$ verringert, sodass ihr Produkt den Wert $π$ erreicht. Das bedeutet, dass der Peak der Kurve schmaler wird.

In der Realität führen jedoch Inhomogenitäten, wie beispielsweise eine Geschwindigkeitsverteilung der Atome oder ein inhomogenes ${\vec{B}}_{⊥}$ jedoch zu einer Verbreiterung der Linienform und damit zu einer verminderten Präzision. Eine Geschwindigkeitsverteilung bedeutet eine Verteilung der Wechselwirkungszeiten, weshalb es viele Winkel gäbe, unter denen sich die Zustandsvektoren auf der Bloch-Kugel umkehren würden. Zwar gäbe es eine optimale Länge im Rabi-Aufbau, die die größte Präzision liefern würde, doch wäre es nicht möglich, die Länge $L$ unendlich zu vergrößern und dabei eine ständig steigende Präzision zu erwarten, wie es im perfekten, einfachen Rabi-Modell der Fall war.

Ramsey-Verfahren

Ramsey verbesserte Rabis Methode, indem er die eine Wechselwirkungszone in zwei sehr kurze Wechselwirkungszonen aufteilte, in denen jeweils ein $π / 2$ -Puls angelegt wurde. Die beiden Wechselwirkungszonen sind durch eine wesentlich längere Nicht-Wechselwirkungszone voneinander getrennt. Da die beiden Wechselwirkungszonen sehr kurz sind, verbringen die Atome viel weniger Zeit in den externen elektromagnetischen Feldern als dies im Rabi-Verfahren der Fall wäre. Dies ist von Vorteil, denn je länger sich die Atome in der Wechselwirkungszone befinden, desto stärker führen Inhomogenitäten (wie beispielsweise ein inhomogenes Feld) zu einer verminderten Genauigkeit bei der Bestimmung von $δ ω$ . Die Wechselwirkungsfreie Zone in Ramseys Modell kann wesentlich länger gestaltet werden als die einzige Wechselwirkungszone in Rabis Verfahren, da in der Wechselwirkungsfreien Zone kein senkrechtes Feld ${\vec{B}}_{⊥}$ angelegt wird (obwohl ${\vec{B}}_{‖}$ weiterhin vorhanden ist).

Die wesentliche Verbesserung durch die Ramsey-Methode ergibt sich daraus, dass die Hauptresonanzfrequenz einen Mittelwert über die Frequenzen (und Inhomogenitäten) im nicht-wechselwirkenden Bereich zwischen den Resonatoren darstellt, während bei dem Rabi-Verfahren die Inhomogenitäten im Wechselwirkungsbereich zu einer Linienverbreiterung führen. Ein weiterer Vorteil der Ramsey-Methode für Mikrowellen- oder optische Übergänge besteht darin, dass der Nicht-Wechselwirkungsbereich im Vergleich zur Rabi-Methode wesentlich länger gestaltet werden kann, was zu schmaleren Linien führt.

Der Hamilton-Operator im rotierenden Bezugssystem ist für die beiden Wechselwirkungszonen derselbe wie bei der Rabi-Methode, und in der Nicht-Wechselwirkungszone besteht der Hamilton-Operator lediglich aus dem Term $\hat{σ_{z}}$ . Zunächst wird ein Puls von $π / 2$ an Atome im Grundzustand angelegt, woraufhin die Atome die wechselwirkungsfreie Zone erreichen und die Spins für die Zeit $T$ um die $z$ -Achse präzessieren. Es wird ein weiterer $π / 2$ -Puls angelegt, und die Wahrscheinlichkeit gemessen – in der Praxis muss dieses Experiment viele Male durchgeführt werden, da eine einzige Messung nicht ausreicht, um die Wahrscheinlichkeit für das Messen eines beliebigen Wertes zu bestimmen (siehe die Beschreibung der Bloch-Kugel weiter unten). Wendet man diese Abfolge auf Atome mit einer bestimmten Geschwindigkeit an, so ergibt sich die Wahrscheinlichkeit, das Atom im angeregten Zustand als Funktion der Verstimmung und der Flugzeit $T$ in der Wechselwirkungsfreien Zone (wobei hier $| δ ω | ≪ Ω_{⊥}$ gilt)

P (T, δ ω) = \cos^{2} (\frac{δ ω T}{2}) = \cos^{2} (\frac{δ ω L}{2 v}) .

Diese Wahrscheinlichkeitsfunktion beschreibt die bekannten Ramsey-Streifen.

Sind die Atomgeschwindigkeiten verteilt und werden die oszillierenden Magnetfelder ${\vec{B}}_{⊥}$ in den Wechselwirkungszonen plötzlich angelegt ( $| δ ω | ≪ Ω_{⊥}$ ), sodass alle Pseudospins der Atome auf der Bloch-Kugel um $π / 2$ gedreht werden – unabhängig davon, ob sie alle genau auf dieselbe Resonanzfrequenz angeregt wurden oder nicht –, sehen die Ramsey-Streifen den oben besprochenen sehr ähnlich. Wird das Magnetfeld nicht plötzlich angelegt, muss die Schwankung der Wechselwirkungszeiten berücksichtigt werden. Das Ergebnis sind Ramsey-Streifen in einer Hüllkurve, deren Form der Wahrscheinlichkeitsverteilung nach der Rabi-Methode für Atome mit einer bestimmten Geschwindigkeit entspricht. Die Linienbreite $Δ ν$ der Streifen bestimmt in diesem Fall die Genauigkeit, mit der $δ ω$ bestimmt werden kann, und beträgt

Δ ν \sim \frac{1}{T} \sim \frac{v}{L} .

Durch die Verlängerung der Laufzeit $T$ in der wechselwirkungsfreien Zone – oder, was darauf hinausläuft, durch die Verlängerung der Länge $L$ der wechselwirkungsfreien Zone – lässt sich die Linienbreite im Vergleich zu anderen Verfahren erheblich verbessern, und zwar um den Faktor 10 oder mehr.

Da der Aufbau von Ramsey eine längere Beobachtungsdauer zulässt, lässt sich die Frequenz $ω_{0}$ genauer bestimmen. Dies ist eine Formulierung der Energie-Zeit-Unschärferelation: Je größer die Unschärfe im Zeitbereich ist, desto kleiner ist die Unschärfe im Energie- bzw. Frequenzbereich. Diese Zeit-Frequenz-Unschärfe lässt sich gut am Stimmen eines Musikinstruments veranschaulichen. Möchte man die Frequenz eines Tons sehr genau bestimmen, muss man ihn über eine ausreichend lange Zeit anhören. Ein sehr kurzer Ton enthält nur wenige Schwingungen, sodass seine Frequenz nur ungenau bestimmt werden kann. Erst wenn viele Schwingungsperioden beobachtet werden, lässt sich die Tonhöhe präzise messen. Umgekehrt kann ein extrem kurzer Ton zeitlich sehr genau lokalisiert werden, er besitzt dann aber keine wohldefinierte Frequenz. Mathematisch führt dies zur Zeit-Frequenz-Unschärferelation $Δ t Δ ω ≳ 1.$

Frühe Ramsey-Interferometer nutzten zwei räumlich getrennte Wechselwirkungszonen. Es ist jedoch auch möglich, zwei zeitlich getrennte Pulse zu verwenden, sofern diese kohärent sind. Dabei gilt: Je größer der Zeitabstand zwischen den Pulsen ist, desto präziser ist die Messung.

Anwendungen

Atomuhren und die SI-Definition der Sekunde

Eine Atomuhr ist im Grunde ein Oszillator, dessen Frequenz $ω$ auf die Frequenz eines Atomübergangs eines Zwei-Niveau-Atoms, $ω_{0}$ , abgestimmt ist. Bei der Ramsey-Methode der getrennten Oszillationsfelder durchlaufen Atome nacheinander zwei räumlich getrennte Mikrowellenfelder $R_{1}$ und $R_{2}$ , deren Frequenz $ω$ nahe der atomaren Übergangsfrequenz $ω_{0} = (E_{2} - E_{1}) / ℏ$ liegt. Der erste $π / 2$ -Puls in $R_{1}$ erzeugt eine kohärente Überlagerung des Grundzustands $| ↑ ⟩$ und des angeregten Zustands $| ↓ ⟩$ . Während des anschließenden Flugs im konstanten Magnetfeld von der Dauer $Δ t$ zwischen $R_{1}$ und $R_{2}$ entwickelt sich zwischen Atom und Mikrowellenfeld eine relative Phase

Δ ϕ = (ω_{0} - ω) Δ t .

Der zweite $π / 2$ -Puls in $R_{2}$ überlagert die beiden Zustandsamplituden erneut. Je nach Phasendifferenz kommt es zu konstruktiver oder destruktiver Interferenz. Bei einer Phasendifferenz von $Δ ϕ = 2 k π$ , wobei $k$ eine ganze Zahl ist, sind die $π / 2$ -Mikrowellenpulse in $R_{1}$ und $R_{2}$ phasengleich und addieren sich in ihrer Wirkung zu einem $π$ -Puls. Atome im angeregten Zustand verlassen die Ramsey-Anordnung im Grundzustand. Bei einer Phasendifferenz von $Δ ϕ = (2 k + 1) π$ hebt der zweite Puls die Wirkung des ersten auf und die Atome bleiben im ursprünglichen Zustand. Die gemessene Übergangswahrscheinlichkeit zeigt ein Interferenzmuster aus sogenannten Ramsey-Streifen. Durch die Messung der Übergangsrate vom angeregten in den Grundzustand lässt sich ein Quarzoszillator als Teil eines Frequenzregelkreises so abstimmen, dass $ω = ω_{0}$ , indem man die Frequenz ermittelt, bei der die maximale Übergangsrate auftritt. Sobald der Oszillator abgestimmt ist, kann die Anzahl seiner Schwingungen elektronisch gezählt werden, um ein bestimmtes Zeitintervall zu erhalten (zum Beispiel die SI-Sekunde, die 9.192.631.770 Perioden eines ¹³³Cäsium-Atoms entspricht).

Die Experimente von Serge Haroche

Serge Haroche erhielt 2012 zusammen mit David J. Wineland den Nobelpreis für Physik für Arbeiten auf dem Gebiet der Hohlraum-Quantenelektrodynamik (Cavity QED). In diesen Arbeiten setzte die Forschungsgruppe Photonen im Mikrowellenbereich ein, um die Quantenbeschreibung elektromagnetischer Felder zu verifizieren. Von entscheidender Bedeutung für diese Experimente war das Ramsey-Interferometer. Mit diesem konnten die Forscher die Übertragung von Quantenkohärenz von einem Atom auf ein anderes durch Wechselwirkung mit einem Quantenzustand in einem Resonator nachweisen. Der Aufbau ähnelt dem eines herkömmlichen Ramsey-Interferometers. Wesentliche Unterschiede bestehen darin, dass sich in der Nicht-Wechselwirkungszone ein Quantenresonator mit einem quantisierten elektromagnetischen Feld befindet. Im nichtresonanten Fall zwischen Atomen und Photonen im Hohlraum findet kein realer Energieaustausch statt, sondern lediglich eine zustandsabhängige Phasenverschiebung.

Wird ein Atom im Grundzustand $| ↑ ⟩$ in den Versuchsaufbau eingeleitet und durch die erste Wechselwirkungszone geführt, so entwickelt sich der Zustand durch den $π / 2$ -Puls zu einer Überlagerung aus Grund- und angeregten Zuständen $(| ↑ ⟩ + | ↓ ⟩) / \sqrt{2}$ , genau wie es bei einem herkömmlichen Ramsey-Interferometer der Fall ist. Anschließend tritt das Atom in den Quantenresonator ein, der ein quantisiertes elektromagnetisches Feld enthält. Dieser ist so eingestellt, dass das durchlaufende Atom eine Phasenverschiebung von $π$ erfährt, wenn der Resonator ein Photon enthält. Nach der zweiten Wechselwirkungszone mit einem weiteren $π / 2$ -Puls verlässt das Atom dann die Ramsey-Apparatur dann im angeregten Zustand $| ↓ ⟩$ . Im Fall des leeren Quantenresonators ohne Photonen bleibt das Atom hingegen im Grundzustand $| ↑ ⟩$ .

Das Atom im Quantenresonator verändert den Brechungsindex des Resonators und somit dessen Feldfrequenz. Photonen im Quantenresonator verändern dessen Energie und führen zur Verschiebung der Energieniveaus des Atoms (Lichtverschiebung). Eine Messung der Energie des Atoms gestattet die Photonanzahl zu ermitteln, ohne sie, wie beim Photoeffekt zu vernichten – Zerstörungsfreie Quantenmessung (Quantum Nondemolition Measurement, QND).

Ramsey-Bordé-Atominterferometer

Frühe Interpretationen von Atominterferometern – darunter auch die von Ramsey – stützten sich auf eine klassische Beschreibung der Bewegung der Atome. Bordé führte jedoch eine Interpretation ein, die eine quantenmechanische Beschreibung der Bewegung der Atome zugrunde legte. Streng genommen ist das Ramsey-Interferometer sowohl ein Interferometer im Realraum – die Pfade der Atome umschließen eine Fläche im Raum – als auch ein Interferometer, bei dem sich die Streifenmuster aufgrund von Änderungen des Pseudospins der Atomzustände entwickeln. Je nach Zustand der Atome erfahren diese eine unterschiedliche Frequenzverstimmung. Um ein Atom im angeregten Zustand am Ausgang des Interferometers zu erhalten, kann es entweder durch Impuls- und Energiezufuhr aus dem Grundzustand angeregt werden oder von Anfang an als angeregtes Atom durch die Apparatur fliegen. Kommen die Atome aus dem verschränkten Zustand von Grund- und angeregtem Zustand nach der ersten Wechselwirkungszone mit der Phasenverschiebung $π / 2$ , so interferieren beide Möglichkeiten je nach Verstimmung $δ ω$ miteinander.

Vierstrahl-Wechselwirkungsgeometrie

Bordé et al. versuchten im Jahr 1984, das Problem der Verwaschung der Ramsey-Streifen von Atomen, deren Übergangsfrequenzen im optischen Bereich lagen, zu verhindern. In diesem Fall führten Doppler-Verschiebungen erster Ordnung dazu, dass die Ramsey-Streifen aufgrund der dadurch verursachten Frequenzverbreiterung verschwanden. Ihre Lösung bestand darin, statt zwei vier Ramsey-Wechselwirkungszonen zu verwenden, wobei jede Zone aus einer sich ausbreitenden Welle bestand und weiterhin einen $π / 2$ -Puls angewendet wurde. Die ersten beiden Wellen breiten sich dabei in dieselbe Richtung aus, die zweiten beiden in die entgegengesetzte Richtung der ersten beiden. So entstehen zwei Atomgruppen, die aus der Wechselwirkung der Atome mit den ersten beiden Zonen und anschließend mit den zweiten beiden Zonen resultieren. Die erste Atomgruppe besteht aus Atomen, bei denen sich die durch den Doppler-Effekt verursachte Dephasierung kompensiert. Dadurch entstehen die bekannten Ramsey-Streifen. Die zweite Atomgruppe besteht aus Atomen, bei denen sich die dopplerbedingte Dephasierung verdoppelt hat und deren Ramsey-Streifen vollständig verschwunden sind. Dieser Effekt wird als rückwärts stimuliertes Photonenecho bezeichnet. Nach Integration über alle Atomgeschwindigkeiten verschwindet das zugehörige Signal.

Die von Bordé et al. eingeführte Wechselwirkungsgeometrie zweier Paare gegenläufiger Wellen ermöglicht eine verbesserte Auflösung bei der Spektroskopie von Frequenzen im optischen Bereich, wie beispielsweise denen von Calcium Ca und Iod I₂.

Interferometer

Konkret handelt es sich beim Ramsey-Bordé-Interferometer jedoch um ein Atominterferometer, das in Vierstrahl-Wechselwirkungsgeometrie aufgebaut ist und das Phänomen des atomaren Rückstoßes bei der Absorption und Emission von Licht nutzt. Der Grundzustand ist $| g ⟩$ und der angeregte Zustand mit $| e ⟩$ . Wenn ein Atom in eine der vier Wechselwirkungszonen eintritt, geht die Wellenfunktion des Atoms in eine Überlagerung zweier Zustände (Verschränkung) über. Jeder Zustand wird dabei durch eine bestimmte Energie und einen bestimmten Impuls beschrieben: $| α, m_{α} ⟩$ , wobei $α$ entweder $g$ oder $e$ ist. Die Quantenzahl $m_{α}$ ist die Anzahl der Lichtimpulsquanten $ℏ | \vec{k} |$ , die aus dem Anfangsimpuls ausgetauscht wurden, wobei $\vec{k}$ der Wellenvektor des Laserlichts ist. Diese Verschränkung ist auf den Energie- und Impulsaustausch zurückzuführen, der während der Absorptions- und Emissionsprozesse in den Wechselwirkungszonen zwischen dem Laser und dem Atom stattfindet. Startet ein Atom in einem bestimmten Zustand, so befindet es sich, nachdem es drei Zonen durchlaufen hat, in einer Überlagerung von acht verschiedenen Zuständen, bevor es die letzte Wechselwirkungszone erreicht.

Die Wahrscheinlichkeit für den Übergang in den angeregten Zustand $| e ⟩$ , nachdem das Atom die vierte Wechselwirkungszone durchlaufen hat, zeigt Ramsey-Streifen. Diese sind auf den Phasenunterschied zwischen zwei quantenmechanischen Pfaden zurückzuführen. Nach Summation über alle Geschwindigkeiten gibt es nur zwei geschlossene quantenmechanische Pfade, deren Integral nicht Null ergibt, nämlich den Pfad $| g, 0 ⟩$ und $| e, - 1 ⟩$ sowie der Pfad $| g, + 2 ⟩$ und $| e, + 1 ⟩$ , die beide sich beide in der vierten Wechselwirkungszone überlagern. Die beiden kohärenten Atompfade bilden ein Atomwellen-Interferometer, das eine endliche räumliche Fläche einschließt. Die resultierende Phasendifferenz hängt sowohl von den geometrischen Eigenschaften des Interferometers, insbesondere den Abständen der Wechselwirkungszonen und der eingeschlossenen Fläche, als auch vom internen Zustand der Atome und von äußeren Feldern ab.

Wenn ein externes Feld angelegt wird, um die Atome zu drehen oder zu beschleunigen, kommt es aufgrund der induzierten de-Broglie-Phase in jedem Arm des Interferometers zu einer Phasenverschiebung. Diese Phasenverschiebung schlägt sich in einer Verschiebung der Ramsey-Streifen nieder. Mit anderen Worten verändert das externe Feld die Impulszustände, was zu einer Verschiebung des Streifenmusters führt, die nachgewiesen werden kann. Eine Phasenverschiebung tritt ebenfalls auf, wenn die gesamte Messapparatur im Labor gedreht wird (Sagnac-Effekt). Das zeigt der folgende Hamilton-Operator der Rotation der Atome im Interferometer um ein externes Feld:

{\hat{H}}_{R} = - \vec{Ω} \cdot (\hat{\vec{r}} \times \hat{\vec{p}}) .

Dabei sind $\hat{\vec{r}}$ und $\hat{\vec{p}}$ die Orts- und Impulsoperatoren des Atoms um die Drehachse $\vec{Ω}$ . Dieser Hamilton-Operator führt zu einem Zeitentwicklungsoperator ${\hat{U}}_{R}$ erster Ordnung in $Ω$ :

{\hat{U}}_{R} = \exp (\frac{i}{ℏ} \int d t^{'} [\vec{Ω} \times \hat{\vec{r}} (t^{'})] \cdot [{\vec{p}}_{0} + m_{α} ℏ \vec{k}]) .

Ist der Vektor $\vec{Ω}$ senkrecht zum Vektor $\hat{\vec{r}} (t^{'})$ , so ergibt sich für die Interferenz eine Phasendifferenz von $2 i k Ω d^{2} / v$ zwischen den am Interferometerausgang interferierenden Teilwellen. Es entsteht ein Phasenfaktor $\exp (2 i k Ω d^{2} / v)$ für die Drehung. Dabei ist $d$ die Länge der gesamten Vorrichtung von der ersten Wechselwirkungszone bis zur letzten Wechselwirkungszone. Das führt zu einer Wahrscheinlichkeit von

P \propto \cos [(δ ω + \frac{2 π Ω d}{λ} + ϕ) \frac{2 d}{v}],

wobei $λ$ die Wellenlänge des atomaren Zwei-Niveau-Übergangs ist. Diese Wahrscheinlichkeit entspricht einer Frequenzverschiebung gegenüber $ω_{0}$ von

δ ν = \frac{Ω d}{λ} .

Für ein Calciumatom an der Erdoberfläche, die sich mit der Winkelgeschwindigkeit $Ω = \frac{π}{12} h^{- 1}$ um ihre Achse dreht, ergibt sich bei einem Abstand der beiden Wechselwirkungszonen von $2 d = 21 c m$ und einer Übergangswellenlänge von $λ = 657,3 n m$ eine Verschiebung der Ramsey-Streifen von etwa

δ ν \approx 12 H z .

Diese durch die Erdrotation verursachte Frequenzverschiebung ist experimentell nachweisbar.

Ein ähnlicher Effekt lässt sich für die durch die Erdbeschleunigung $\vec{g}$ verursachte Verschiebung der Ramsey-Interferenzstreifen berechnen.

\exp (- \frac{i}{ℏ} M_{Ca} \oint d t^{'} \vec{g} \cdot \vec{r} (t^{'})) .

wobei $M_{Ca}$ das Atomgewicht von Calcium ist. Die Frequenzverschiebung der Ramsey-Streifen beträgt

δ ν = \frac{g d}{2 v λ} .

Die Verschiebungen der Streifen kehren ihre Richtung um, wenn die Richtungen der Laser in den Wechselwirkungszonen vertauscht werden. Wenn stehende Wellen verwendet werden, hebt sich die Verschiebung auf.

Einzelnachweise

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1 2 Serge Haroche: Controlling Photons in a Box and Exploring the Quantum to Classical Boundary. Nobel Lecture, 8. Dezember 2012, abgerufen am 25. Juni 2026.
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↑ Serge Haroche: Licht - Eine Geschichte. 1. Auflage. Klett-Cotta, Stuttgart 2022, ISBN 978-3-608-11850-6, S. 384.
↑ Serge Haroche: Licht - Eine Geschichte. 1. Auflage. Klett-Cotta, Stuttgart 2022, ISBN 978-3-608-11850-6, S. 382.
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[3] Dieter Meschede: Optik, Licht und Laser. 3. Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8351-0143-2, S. 441.

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[5] Richard P. Feynman and Robert B. Leighton and Matthew Sands: Feynman Vorlesungen über Physik, Band 2: Elektromagnetismus und Struktur der Materie. 5. Auflage. Oldenbourg Verlag, München Wien 2007, ISBN 978-3-486-58107-2, S. 703.

[Prob3-6] 1 2 3 4 Deutsch, Ivan: Quantum Optics I, PHYS 566, at the University of New Mexico. Department of Physics and Astronomy, 2023, abgerufen am 21. Juni 2026.

[BordePaper1-7] 1 2 3 Christian J. Bordé, Ch. Salomon, S. Avrillier, A. van Lerberghe, Ch. Bréant, D. Bassi, G. Scoles: Optical Ramsey fringes with traveling waves. In: Physical Review A. 30. Jahrgang, Nr. 4, Oktober 1984, S. 1836–1848, doi:10.1103/PhysRevA.30.1836, bibcode:1984PhRvA..30.1836B (englisch, free.fr [PDF; abgerufen am 24. Januar 2014]).

[8] Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloë: Quantum Mechanics, Volume 1 : Basic Concepts, Tools, and Applications. John Wiley & Sons, New York, London, Sidney, Toronto 1977, ISBN 0-471-16432-1, S. 412.

[9] Dieter Meschede: Optik, Licht und Laser. 3. Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8351-0143-2, S. 237.

[10] Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloë: Quantum Mechanics, Volume 1 : Basic Concepts, Tools, and Applications. John Wiley & Sons, New York, London, Sidney, Toronto 1977, ISBN 0-471-16432-1, S. 414.

[11] Norman F. Ramsey: Molecular Beams. 1. Auflage. Clarendon Press, Oxford 1956, S. 119.

[12] Norman F. Ramsey: Molecular Beams. 1. Auflage. Clarendon Press, Oxford 1956, S. 131.

[13] Norman F. Ramsey: Molecular Beams. 1. Auflage. Clarendon Press, Oxford 1956, S. 130.

[14] Christopher R. Foot: Atomphysik. 1. Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 2011, ISBN 978-3-486-70546-1, S. 171.

[15] Norman Ramsey: Experiments with Separated Oscillatory Fields and Hydrogen Masers. Nobel Lecture, 8. Dezember 1989, abgerufen am 24. Juni 2026.

[16] Andreas Bauch, Stefan Weyers, Ekkehard Peik: Heft 2: Experimente für das neue Internationale Einheitensystem (SI). Physikalisch-Technischen Bundesanstalt, Februar 2016, abgerufen am 24. Juni 2026.

[17] Serge Haroche, Michel Brune, Jean-Michel Raimond: Atomic clocks for controlling light fields. Physics Today, 1. Januar 2013, abgerufen am 24. Juni 2026.

[Haroche389-18] Serge Haroche: Licht - Eine Geschichte. 1. Auflage. Klett-Cotta, Stuttgart 2022, ISBN 978-3-608-11850-6, S. 389.

[19] Royal Swedish Academy of Sciences: Particle control in a quantum world. 9. Oktober 2011, abgerufen am 26. Juni 2026: „The Royal Swedish Academy of Sciences has decided to award the Nobel Prize in Physics for 2012 to Serge Haroche College de France and Ecole Normale Superieure, Paris, France and David J. Wineland National Institute of Standards and Technology (NIST) and University of Colorado Boulder, CO, USA“

[Haroche-20] 1 2 Serge Haroche: Controlling Photons in a Box and Exploring the Quantum to Classical Boundary. Nobel Lecture, 8. Dezember 2012, abgerufen am 25. Juni 2026.

[Haroche387-21] Serge Haroche: Licht - Eine Geschichte. 1. Auflage. Klett-Cotta, Stuttgart 2022, ISBN 978-3-608-11850-6, S. 387.

[Haroche384-22] Serge Haroche: Licht - Eine Geschichte. 1. Auflage. Klett-Cotta, Stuttgart 2022, ISBN 978-3-608-11850-6, S. 384.

[Haroche382-23] Serge Haroche: Licht - Eine Geschichte. 1. Auflage. Klett-Cotta, Stuttgart 2022, ISBN 978-3-608-11850-6, S. 382.

[PTB-Mitteilungen_2009_Heft_2-24] 1 2 3 Uwe Sterr und Fritz Riehle: Atominterferometrie. In: PTB-Mitteilungen. Band 119, Nr. 2, 2009, S. 159–166 (ptb.de [PDF; abgerufen am 3. Juli 2024]). (5,4 MB)

[BordePaper2-25] 1 2 3 4 5 6 Christian J. Bordé: Atomic interferometry with internal state labelling. In: Physics Letters A. 140. Jahrgang, Nr. 1–2, 4. September 1989, ISSN 0375-9601, S. 10–12, doi:10.1016/0375-9601(89)90537-9, bibcode:1989PhLA..140...10B (englisch, free.fr [PDF; abgerufen am 24. Januar 2014]).

[26] L. D. Landau, E. M. Lifschitz: Lehrbuch der theoretischen Physik, Band 1, Mechanik -. 9. Auflage. Akademie Verlag, Berlin 1979, S. 158.