Reeb-Graph

Der Reeb-Graph ist ein topologischer Graph benannt nach dem französischen Mathematiker Georges Reeb (1920–1993). Er hat seinen Ursprung in der Morse-Theorie.

Definition

Sei $f : M \to ℝ$ eine stetige skalare Funktion über der kompakten Mannigfaltigkeit $M$ . Der Reeb-Graph von $M$ bezüglich $f$ ist der Quotientenraum von $M$ , der von der Äquivalenzrelation $x \sim y$ induziert wird. Es gilt $x \sim y$ genau dann, wenn

$f (x) = f (y)$ und
$x$ und $y$ in derselben Zusammenhangskomponente von $f^{- 1} (f (x))$ liegen.

Das heißt, Knoten entstehen an Punkten, an denen sich die Topologie von $M$ bezüglich $f$ ändert. Diese werden auch als kritische Punkte bezeichnet.

Literatur

G. Reeb: Sur les points singuliers d’une forme de Pfaff complètement intégrable ou d’une fonction numérique. C. R. Acad. Sci. Paris 222, 847–849 (1946)