Richard Eichenauer studierte in München, Leipzig und Münster. 1919 absolvierte er das Staatsexamen für Germanistik, Englisch und Französisch und wurde Lehrer am Reform-Realgymnasium Bochum. 1924 legte er die Prüfung für Gesanglehrer an höheren Schulen ab, 1927 wurde er zum Studienrat ernannt. Eichenauer schrieb als Musikkritiker für den Bochumer Anzeiger.
Eichenauer war seit 1932 im Rasse- und Siedlungshauptamt der SS tätig (SS-Nummer 89.954). Zum 1. Januar 1933 trat er der NSDAP bei (Mitgliedsnummer 1.448.515). 1935 wurde er zum Leiter der Bauernhochschule in Goslar berufen. Er erhielt den Totenkopfring der SS.
Im Nachkriegsdeutschland war Eichenauer Studienrat in Goslar.