Runge-Gross-Theorem

Ungleichheit der Stromdichten bei unterschiedlichen Potentialen

Seien ${\displaystyle v(r,t)}$ und ${\displaystyle v'(r,t)}$ zwei Potentiale, die sich um mehr als eine additive zeitabhängige Konstante unterscheiden ${\displaystyle v(r,t)-v'(r,t)\neq C(t)}$, was nicht ausschließt, dass die Potentiale identisch zum Anfangszeitpunkt ${\displaystyle t=t_{0}}$ sind. Unter der Annahme, dass die Potentiale in einer Taylor-Reihe dargestellt werden können, muss ${\displaystyle \exists \mathbb {Z} \ni k>0}$ so dass

${\displaystyle {\frac {\partial ^{k}}{\partial t^{k}}}[v(r,t)-v'(r,t)]_{t=t_{0}}\neq {\text{const.}}\qquad (1)}$

Ausgehend vom Ehrenfest-Theorem bzw. der Heisenbergschen Bewegungsgleichung für den Stromdichteoperator ${\displaystyle {\hat {j}}(r)=(2i)^{-1}\sum _{s}[{\hat {\psi }}_{s}\nabla {\hat {\psi }}_{s}^{\dagger }-{\hat {\psi }}_{s}^{\dagger }\nabla {\hat {\psi }}_{s}]}$ in Zweiter Quantisierung erhalten wir

${\displaystyle i\partial \langle {\hat {j}}(r)\rangle /\partial t=\langle [{\hat {j}}(r),{\hat {H}}(t)]\rangle +\underbrace {i\langle \partial {\hat {j}}(r)/\partial t\rangle } _{0}\qquad (2)}$

wobei ${\displaystyle \langle \cdot \rangle }$ dem quantenmechanischen Erwartungswert entspricht, ${\displaystyle [{\hat {j}}(r),{\hat {H}}(t)]}$ ist der Kommutator zwischen Stromdichteoperator und Hamilton-Operator. Da die beiden Wellenfunktionen ${\displaystyle \Phi (t)}$ und ${\displaystyle \Phi '(t)}$ sich vom selben Ausgangszustand ${\displaystyle \Phi _{0}=\Phi (t_{0})=\Phi '(t_{0})}$ entwickeln, folgt

${\displaystyle i\partial /\partial t[\langle {\hat {j}}(r)\rangle -\langle {\hat {j}}'(r)\rangle ]_{t=t_{0}}=\langle \Phi _{0}|[{\hat {j}}(r),{\hat {H}}(t_{0})-{\hat {H}}'(t_{0})]|\Phi _{0}\rangle =in(r,t_{0})\nabla [v(r,t_{0})-v'(r,t_{0})]}$

Sofern die Potentiale bei ${\displaystyle t=t_{0}}$ verschieden sind, wenn Gl. (1) für ${\displaystyle k=0}$ hält, ist die rechte Seite dieser Gleichung ungleich null und damit werden die beiden Stromdichten infinitesimal nach ${\displaystyle t_{0}}$ unterschiedlich. Applizieren von Gl. (2) ${\displaystyle k}$-mal liefert

${\displaystyle \{i\partial /\partial t\}^{k+1}[\langle {\hat {j}}(r)\rangle -\langle {\hat {j}}'(r)\rangle ]_{t=t_{0}}=\langle \Phi _{0}|[{\hat {j}}(r),{\hat {H}}(t_{0})-{\hat {H}}'(t_{0})]|\Phi _{0}\rangle =in(r,t_{0})\nabla {\bigg [}\{i\partial /\partial t\}^{k+1}[v(r,t)-v'(r,t)]_{t=t_{0}}{\bigg ]}\neq 0\qquad (3)}$

Das zeigt, dass die Stromdichten ${\displaystyle \forall k\in \mathbb {Z} }$ infinitesimal nach ${\displaystyle t_{0}}$ unterschiedlich werden, was den ersten Teil des Beweises komplettiert.

Ungleichheit der Elektronendichten bei unterschiedlichen Potentialen

Mittels der Kontinuitätsgleichung

${\displaystyle \partial _{t}[n(r,t)-n'(r,t)]=-{\text{div}}[\langle {\hat {j}}(r)\rangle -\langle {\hat {j}}'(r)\rangle ]}$

Anwenden der ${\displaystyle (k+1)}$-sten Ableitung und mit Gl. (3)

${\displaystyle \partial _{t}^{k+1}[n(r,t)-n'(r,t)]|_{t=t_{0}}=-{\text{div}}\ n(r,t_{0})\cdot \nabla \underbrace {{\bigg [}\partial _{t}^{k}[v(r,t)-v'(r,t)]|_{t=t_{0}}{\bigg ]}} _{u(r)}}$

Schließlich muss noch gezeigt werden, dass die rechte Seite der obigen Gleichung ungleich null ist, wenn Gl. (1) stimmt. Schließlich mit dem Satz von Green

${\displaystyle 0\neq \int drn(r,t_{0})\underbrace {(\nabla u(r))^{2}} _{u\neq {\text{const.}}\Rightarrow \neq 0}=-\int dru(r)\underbrace {\nabla n(r,t_{0})\nabla u(r)} _{0}+\underbrace {\oint n(r,t_{0})u(r)\nabla u(r)} _{0}=0}$

entsteht der Widerspruch und das Runge-Gross-Theorem ist bewiesen.${\displaystyle \qquad \Box }$