Satz von Dold

In der Mathematik ist der Satz von Dold eine Verallgemeinerung des Satzes von Borsuk-Ulam, der zahlreiche Anwendungen in der topologischen Kombinatorik besitzt.

Satz von Dold

Wenn eine stetige Abbildung

f : S^{m} \to S^{n}

äquivariant für freie Wirkungen einer nichttrivialen endlichen Gruppe auf den Sphären $S^{m}$ und $S^{n}$ ist, dann ist

n \geq m

.

Wenn $n = m$ ist, dann ist $f$ nicht nullhomotop.

Spezialfall: Satz von Borsuk-Ulam

Wenn man $G = ℤ / 2 ℤ$ und ihre Wirkung per Antipodenabbildung

x \to - x

auf $S^{m}$ und $S^{n}$ betrachtet, dann erhält man aus dem Satz von Dold die folgende Variante des Satzes von Borsuk-Ulam.

Für $m > n$ gibt es keine stetige Abbildung

f : S^{m} \to S^{n}

,

die

f (- x) = - f (x)

für alle $x \in S^{m}$ erfüllt.

Verallgemeinerung

Eine nichttriviale endliche Gruppe $G$ wirke auf einem Raum $X$ und frei auf einem Raum $Y$ .

Für die Dimension $n := d i m (Y)$ gelte $π_{0} X = π_{1} X = \dots = π_{n - 1} X = π_{n} X = 0$ .

Dann gibt es keine stetige $G$ -äquivariante Abbildung $f : X \to Y$ .

Geschichte

Der Satz wurde 1983 von Albrecht Dold veröffentlicht. Die Verallgemeinerung (unter der Annahme, dass auch die Wirkung auf $X$ frei ist) wurde ebenfalls von Dold mit der Bemerkung "Essentially the same proof gives the following result." formuliert. Er bemerkte weiterhin, dass für $Y$ parakompakt und $d i m (Y) = 1 + c o n n (X) < \infty$ eine äquivariante stetige Abbildung nicht nullhomotop sein kann.

Ein Beweis der Verallgemeinerung findet sich in .

Literatur

Albrecht Dold: Simple proofs of some Borsuk-Ulam results. Proceedings of the Northwestern Homotopy Theory Conference (Evanston, Ill., 1982), 65–69, Contemp. Math., 19, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1983. online
Pavle Blagojević, Aleksandra Dimitrijević Blagojević, John McCleary: Spectral sequences in combinatorial geometry: cheeses, inscribed sets, and Borsuk-Ulam type theorems. Topology Appl. 158 (2011), no. 15, 1920–1936. online

Einzelnachweise

↑ Dold, op. cit., S. 65
↑ Dold, op. cit., S. 68
↑ Die Konnektivität $c o n n (X)$ eines topologischen Raumes ist die größte Zahl $m$ , für die $π_{0} X = π_{1} X = \dots = π_{m} X = 0$ gilt.
↑ Blagojević et al., op. cit.

[1] Dold, op. cit., S. 65

[2] Dold, op. cit., S. 68

[3] Die Konnektivität $c o n n (X)$ eines topologischen Raumes ist die größte Zahl $m$ , für die $π_{0} X = π_{1} X = \dots = π_{m} X = 0$ gilt.

[4] Blagojević et al., op. cit.