Satz von Hopf

Der Satz von Hopf ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Teilgebiet der algebraischen Topologie. Er geht auf eine wichtige Arbeit des Mathematikers Heinz Hopf zurück, welche im Band 96 der Mathematischen Annalen im Jahre 1927 erschien. Der Satz wird stellenweise auch als Satz von Brouwer-Hopf bezeichnet, weil Heinz Hopf seinen Satz in Erweiterung eines früheren Resultats von Luitzen Egbertus Jan Brouwer erzielt hat.

Im Rahmen der Thom-Pontryagin-Theorie wird gezeigt, dass der Satz von Hopf als Spezialfall aus einem übergeordneten Theorem folgt.

Formulierung des Satzes

Der Satz lässt sich in moderner Formulierung etwa folgendermaßen angeben:

Für jede zusammenhängende, orientierte, geschlossene, differenzierbare n-Mannigfaltigkeit

M

(

n \in ℕ

) ist der Abbildungsgrad eine Homotopieinvariante von Abbildungen in die n-Sphäre derart, dass je zwei stetige Abbildungen

f_{1}, f_{2}

, welche die Mannigfaltigkeit

M

in die n-Sphäre

S^{n} \subset ℝ^{n + 1}

abbilden, genau dann homotop sind, wenn sie denselben Abbildungsgrad

D (f_{1}) = D (f_{2})

haben.

Weil sich jede ganze Zahl $γ \in ℤ$ als Abbildungsgrad einer geeignet gewählten stetigen Abbildung der gegebenen Mannigfaltigkeit $M$ in die n-Sphäre realisieren lässt, gilt dann sogar:

Ist

[M, S^{n}]

das Mengensystem der Homotopieklassen der stetigen Abbildungen

f : M \to S^{n}

, so vermittelt die Abbildungsgradfunktion

D

eine Bijektion

\overline{D} : [M, S^{n}] \to ℤ

, durch die zu jedem

γ \in ℤ

genau eine Homotopieklasse

[f] \in [M, S^{n}]

mit

\overline{D} ([f]) = D (f) = γ

gehört.

Der allgemeine Satz für die Dimension 2

Der Satz für die n = 2 ist im Wesentlichen dasjenige Resultat, welches Brouwer in seiner Arbeit im Band 71 der Mathematischen Annalen im Jahre 1912 vorgestellt hat.

Der spezielle Satz für die Sphäre

Die Hauptanwendung findet der Satz von Hopf in dem Fall $M = S^{n}$ :

Zwei stetige Abbildungen der n-Sphäre in sich selbst sind genau dann homotop, wenn ihre Abbildungsgrade übereinstimmen.

Dabei zeigt sich, dass die obige durch den Abbildungsgrad vermittelte Bijektion sogar einen Gruppenisomorphismus $d e g : (π_{n} S^{n}, *) ≃ (ℤ, +)$ der n-ten Homotopiegruppe der n-Sphäre auf die Gruppe der ganzen Zahlen vermittelt.

Weiterhin ergibt sich i. V. m. der Multiplikationsregel für den Abbildungsgrad das folgende Korollar:

Für zwei stetige Abbildungen

f_{1}, f_{2}

der n-Sphäre in sich selbst sind die verketteten Funktionen

f_{1} \circ f_{2}

und

f_{2} \circ f_{1}

stets homotop.

Literatur

Originalarbeiten

Heinz Hopf: Abbildungsklassen n-dimensionaler Mannigfaltigkeiten. In: Math. Ann. Band 96, 1926, S. 209–224 (maths.ed.ac.uk [PDF; 1,5 MB] zbMATH Open).
Luitzen Egbertus Jan Brouwer: Über Abbildung von Mannigfaltigkeiten. In: Math. Ann. Band 71, 1912, S. 97–115, 598 (Göttinger Digitalisierungszentrum – zbMATH Open).

Monographien

Glen E. Bredon: Topology and Geometry (= Graduate texts in mathematics. Band 139). Springer-Verlag, New York [u. a.] 1993, ISBN 3-540-97926-3 (zbMATH Open).
Theodor Bröcker, Tammo tom Dieck: Kobordismentheorie (= Lecture Notes in Mathematics. Band 178). Springer-Verlag, Berlin [u. a.] 1970, ISBN 3-540-05341-7 (zbMATH Open).
James Dugundji: Topology (= Allyn and Bacon Series in Advanced Mathematics. Band 16). 8. Auflage. Allyn and Bacon, Inc., Boston 1973 (zbMATH Open).
Egbert Harzheim: Einführung in die kombinatorische Topologie (= Die Mathematik. Einführungen in Gegenstand und Ergebnisse ihrer Teilgebiete und Nachbarwissenschaften). Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1978, ISBN 3-534-07016-X (MR0533264 – zbMATH Open).
Horst Schubert: Topologie (= Mathematische Leitfäden). 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6 (MR0423277 – zbMATH Open).
Tammo tom Dieck: Topologie (= De Gruyter Lehrbuch). 2., völlig neu bearbeitete und erweiterte Auflage. De Gruyter, Berlin [u. a.] 2000, ISBN 3-11-016236-9 (zbMATH Open).

Einzelnachweise

↑ Heinz Hopf: Abbildungsklassen n-dimensionaler Mannigfaltigkeiten. In: Math. Ann. Band 96, S. 209 ff.
↑ Schubert: S. 289–290.
↑ Dabei wird als wesentliches Werkzeug die sogenannte Pontrjagin-Thom-Konstruktion benutzt; vgl. Kapitel II, Abschnitt 16 bei Bredon: S. 118 ff. sowie Kapitel III bei Bröcker / tom Dieck: S. 24 ff.
↑ tom Dieck: S. 284–285.
↑ Dugundji: S. 352.
↑ Harzheim: S. 169.
↑ Bredon: S. 124.
↑ Harzheim: S. 168, 136.
↑ Harzheim: S. 169.

[1] Heinz Hopf: Abbildungsklassen n-dimensionaler Mannigfaltigkeiten. In: Math. Ann. Band 96, S. 209 ff.

[2] Schubert: S. 289–290.

[3] Dabei wird als wesentliches Werkzeug die sogenannte Pontrjagin-Thom-Konstruktion benutzt; vgl. Kapitel II, Abschnitt 16 bei Bredon: S. 118 ff. sowie Kapitel III bei Bröcker / tom Dieck: S. 24 ff.

[4] tom Dieck: S. 284–285.

[5] Dugundji: S. 352.

[6] Harzheim: S. 169.

[7] Bredon: S. 124.

[8] Harzheim: S. 168, 136.

[9] Harzheim: S. 169.