Binomisches Integral

Aussage

Ein binomisches Integral ist elementar integrierbar genau dann, wenn mindestens eine der Zahlen ${\displaystyle \textstyle p,\ {\frac {m+1}{n}}}$ bzw. ${\displaystyle \textstyle {\frac {m+1}{n}}+p}$ ganz ist.

Ist die Funktion elementar integrierbar, so lässt sich in folgenden drei Fällen die Stammfunktion bestimmen:

1. ${\displaystyle p\in \mathbb {Z} }$ mit der Substitution ${\displaystyle x=t^{q}}$ wobei q der Hauptnenner von m und n ist
2. ${\displaystyle {\frac {m+1}{n}}\in \mathbb {Z} }$ mit der Substitution ${\displaystyle t^{q}=ax^{n}+b}$ wobei q der Nenner von p ist
3. ${\displaystyle {\frac {m+1}{n}}+p\in \mathbb {Z} }$ mit der Substitution ${\displaystyle t^{q}={\frac {ax^{n}+b}{x^{n}}}}$ wobei q der Nenner von p ist.

Beispiele

1. Beispiel

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int {\frac {1}{\sqrt {1+x^{4}}}}\,\mathrm {d} x=\int x^{0}\left(1\cdot x^{4}+1\right)^{-{\frac {1}{2}}}\,\mathrm {d} x\\\Rightarrow &m=0,\ n=4,\ p=-{\frac {1}{2}}\\\Rightarrow &p=-{\frac {1}{2}}\notin \mathbb {Z} ,\ {\frac {m+1}{n}}={\frac {0+1}{4}}={\frac {1}{4}}\notin \mathbb {Z} ,\ {\frac {m+1}{n}}+p={\frac {0+1}{4}}-{\frac {1}{2}}=-{\frac {1}{4}}\notin \mathbb {Z} \end{aligned}}}$

Somit ist ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{\sqrt {1+x^{4}}}}}$ nicht elementar integrierbar.

2. Beispiel

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int {\sqrt[{3}]{x}}{\sqrt[{3}]{\left(x+1\right)^{2}}}\,\mathrm {d} x=\int x^{\frac {1}{3}}\left(1\cdot x^{1}+1\right)^{\frac {2}{3}}\,\mathrm {d} x\\\Rightarrow &m={\frac {1}{3}},\ n=1,\ p={\frac {2}{3}}\\\Rightarrow &p={\frac {2}{3}}\notin \mathbb {Z} ,\ {\frac {m+1}{n}}={\frac {{\frac {1}{3}}+1}{1}}={\frac {4}{3}}\notin \mathbb {Z} ,\ {\frac {m+1}{n}}+p={\frac {{\frac {1}{3}}+1}{1}}+{\frac {2}{3}}=2\in \mathbb {Z} \end{aligned}}}$

Also ist ${\displaystyle \textstyle {\sqrt[{3}]{x}}{\sqrt[{3}]{\left(x+1\right)^{2}}}}$ elementar integrierbar.