Schatten-Klasse

Die Schatten-Klassen, auch Schatten-von-Neumann-Klassen, benannt nach Robert Schatten und John von Neumann, sind spezielle Algebren von Operatoren, die im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht werden. Sie haben viele Eigenschaften mit den Folgenräumen ${\displaystyle \ell ^{p}}$ gemeinsam.

Definition

Ist ${\displaystyle T\colon H\rightarrow G}$ ein kompakter linearer Operator zwischen unendlichdimensionalen Hilberträumen (im Endlichdimensionalen bricht die Folge ab), so gibt es eine monoton fallende Folge ${\displaystyle \left(s_{n}\right)_{n}}$ nicht-negativer reeller Zahlen mit ${\displaystyle s_{n}\rightarrow 0}$ und orthonormale Folgen ${\displaystyle \left(e_{n}\right)_{n}}$ in ${\displaystyle H}$ und ${\displaystyle \left(f_{n}\right)_{n}}$ in ${\displaystyle G}$, sodass

• ${\displaystyle \textstyle Tx=\sum _{n=1}^{\infty }s_{n}\langle x,e_{n}\rangle f_{n}}$ für alle ${\displaystyle x\in H}$ gilt und
• die Operatoren ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{N}s_{n}\langle \cdot ,e_{n}\rangle f_{n}}$ für ${\displaystyle N\to \infty }$ in der Operatornorm gegen ${\displaystyle T}$ konvergieren.

Das ist die sogenannte Schmidt-Darstellung. Die Zahlenfolge ${\displaystyle \left(s_{n}\right)_{n}}$ ist im Gegensatz zu den orthonormalen Folgen eindeutig durch ${\displaystyle T}$ bestimmt. Man schreibt daher ${\displaystyle s_{n}(T)}$ für das ${\displaystyle n}$-te Folgenglied und nennt diese Zahl auch den ${\displaystyle n}$-ten singulären Wert von ${\displaystyle T}$. Man kann zeigen, dass die Quadrate dieser Zahlen die monoton fallende Eigenwertfolge des kompakten und positiven Operators ${\displaystyle T^{*}T\in L(H)}$ bilden.

Für ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$ ist die ${\displaystyle p}$-te Schatten-Klasse kompakter Operatoren von ${\displaystyle H}$ nach ${\displaystyle G}$ durch

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{p}(H,G)\,:=\,\{T\colon H\rightarrow G\,\mid \,T\,{\rm {kompakt}},\,\left(s_{n}(T)\right)_{n}\in \ell ^{p}\}}$

definiert. Dabei ist ${\displaystyle \ell ^{p}}$ der Folgenraum der zur ${\displaystyle p}$-ten Potenz summierbaren Folgen. Für ${\displaystyle T\in {\mathcal {S}}_{p}(H,G)}$ definiert man die ${\displaystyle p}$-Norm des Operators gerade durch diese Norm der Folge:

${\displaystyle \|T\|_{p}:=\left(\sum _{n=1}^{\infty }s_{n}(T)^{p}\right)^{\frac {1}{p}}}$

Die ${\displaystyle p}$-Norm des Operators ist also genau die ${\displaystyle \ell ^{p}}$-Norm der zugehörigen Folge der singulären Werte des Operators.

Für den Fall ${\displaystyle G=H}$ schreibt man abkürzend ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{p}(H):={\mathcal {S}}_{p}(H,H)}$. Oft nennt man nur diese Räume Schatten-Klassen.

Spezialfälle

Für ${\displaystyle p=1}$ entspricht der Raum ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}(H,G)}$ der Menge der Spurklasseoperatoren.

Für ${\displaystyle p=2}$ entspricht ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{2}(H,G)}$ dem Hilbertraum der Hilbert-Schmidt-Operatoren.

Eigenschaften

• Die Schatten-Klassen haben viele Eigenschaften mit den ${\displaystyle \ell ^{p}}$-Räumen gemeinsam. ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{p}(H)}$ ist mit der ${\displaystyle p}$-Norm ein Banachraum. Für ${\displaystyle p\leq q}$ gilt ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}\geq \|\cdot \|_{q}}$ und daher ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{p}(H)\subset {\mathcal {S}}_{q}(H)}$. Ferner gilt stets ${\displaystyle \|T\|\leq \|T\|_{p}}$, wobei ${\displaystyle \|T\|}$ die Operator-Norm von ${\displaystyle T}$ ist.

• ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{p}(H)}$ ist mit der Operator-Multiplikation sogar eine Banachalgebra mit isometrischer Involution, wobei die Involution die Adjunktion ist. Sind ${\displaystyle T\in {\mathcal {S}}_{p}(H)}$ und ${\displaystyle A,B\in L(H)}$ stetige lineare Operatoren auf ${\displaystyle H}$, so ist ${\displaystyle ATB\in {\mathcal {S}}_{p}(H)}$ und es gilt ${\displaystyle \|ATB\|_{p}\leq \|A\|\|T\|_{p}\|B\|}$. Die Schatten-Klassen sind daher zweiseitige Ideale in ${\displaystyle L(H)}$.

• Seien ${\displaystyle 1<p,q<\infty }$ mit ${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1}$ konjugierte Zahlen. Gilt dann ${\displaystyle T\in {\mathcal {S}}_{p}(H)}$ und ${\displaystyle S\in {\mathcal {S}}_{q}(H)}$, so ist das Produkt ${\displaystyle TS}$ ein Spurklasse-Operator und es gilt ${\displaystyle \operatorname {Sp} (TS)\leq \|T\|_{p}\|S\|_{q}}$. Jedes ${\displaystyle S\in {\mathcal {S}}_{q}(H)}$ definiert daher durch ${\displaystyle T\mapsto \operatorname {Sp} (TS)}$ ein stetiges lineares Funktional ${\displaystyle \psi _{S}}$ auf ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{p}(H)}$. Man kann zeigen, dass die Abbildung ${\displaystyle S\mapsto \psi _{S}}$ ein isometrischer Isomorphismus von ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{q}(H)}$ auf den Dualraum von ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{p}(H)}$ ist, oder kurz ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{p}(H)\,'\cong {\mathcal {S}}_{q}(H)}$. Man hat also auch hier ganz ähnliche Verhältnisse wie bei den Folgenräumen. Insbesondere sind die Schatten-Klassen für ${\displaystyle 1<p<\infty }$ reflexiv, sie sind sogar gleichmäßig konvex. Wie bei den Folgenräumen ist dies für ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}(H)}$ nicht der Fall. Die Verhältnisse für ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}(H)}$ sind im Artikel Spurklasseoperator näher beschrieben.

Lokale Theorie der Schatten-Klassen

Auch im Rahmen der lokalen Theorie der Banachräume sind zentrale strukturelle Aspekte der endlich-dimensionalen Schatten-Klassen studiert worden; diese Räume sind von Bedeutung etwa im Bereich der Low-Rank matrix recovery, darunter die asymptotischen Volumina ihrer Einheitskugeln sowie Entropiezahlen oder auch s-Zahlen für natürliche Einbettungen zwischen diesen Räumen. Darüber hinaus wurde für Einheitskugeln selbstadjungierter Schatten-Klassen für den Fall ${\displaystyle p>3}$ die berühmte Variance Conjecture bewiesen.

Quellen

• R. Schatten: Norm Ideals of Completely Continuous Operators. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, 2. Folge, ISBN 3-540-04806-5.
• N. Dunford, J. T. Schwartz: Linear Operators, Part II, Spectral Theory. ISBN 0-471-60847-5.
• R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis. Vieweg, 1992 ISBN 3-528-07262-8.

Einzelnachweise

1. ↑ Z. Kabluchko, J. Prochno, C. Thäle: Exact asymptotic volume and volume ratio of Schatten unit balls
2. ↑ A. Hinrichs, J. Prochno, J. Vybíral: Entropy numbers of embeddings of Schatten classes
3. ↑ A. Hinrichs, J. Prochno, J. Vybíral: Gelfand numbers of embeddings of Schatten classes
4. ↑ J. Prochno, M. Strzelecki: Approximation, Gelfand, and Kolmogorov numbers of Schatten class embeddings
5. ↑ B. Dadoun, M. Fradelizi, O. Guédon, P.-A. Zitt: Asymptotics of the Inertia Moments and the Variance Conjecture in Schatten Balls