Schatten-Klasse

Die Schatten-Klassen, auch Schatten-von-Neumann-Klassen, benannt nach Robert Schatten und John von Neumann, sind spezielle Algebren von Operatoren, die im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht werden. Sie haben viele Eigenschaften mit den Folgenräumen $\ell ^{p}$ gemeinsam.

Definition

Ist $T\colon H\rightarrow G$ ein kompakter linearer Operator zwischen unendlichdimensionalen Hilberträumen (im Endlichdimensionalen bricht die Folge ab), so gibt es eine monoton fallende Folge $\left(s_{n}\right)_{n}$ nicht-negativer reeller Zahlen mit $s_{n}\rightarrow 0$ und orthonormale Folgen $\left(e_{n}\right)_{n}$ in $H$ und $\left(f_{n}\right)_{n}$ in $G$ , sodass

$\textstyle Tx=\sum _{n=1}^{\infty }s_{n}\langle x,e_{n}\rangle f_{n}$ für alle $x\in H$ gilt und
die Operatoren $\textstyle \sum _{n=1}^{N}s_{n}\langle \cdot ,e_{n}\rangle f_{n}$ für $N\to \infty$ in der Operatornorm gegen $T$ konvergieren.

Das ist die sogenannte Schmidt-Darstellung. Die Zahlenfolge $\left(s_{n}\right)_{n}$ ist im Gegensatz zu den orthonormalen Folgen eindeutig durch $T$ bestimmt. Man schreibt daher $s_{n}(T)$ für das $n$ -te Folgenglied und nennt diese Zahl auch den $n$ -ten singulären Wert von $T$ . Man kann zeigen, dass die Quadrate dieser Zahlen die monoton fallende Eigenwertfolge des kompakten und positiven Operators $T^{*}T\in L(H)$ bilden.

Für $1\leq p<\infty$ ist die $p$ -te Schatten-Klasse kompakter Operatoren von $H$ nach $G$ durch

{\mathcal {S}}_{p}(H,G)\,:=\,\{T\colon H\rightarrow G\,\mid \,T\,{\rm {kompakt}},\,\left(s_{n}(T)\right)_{n}\in \ell ^{p}\}

definiert. Dabei ist $\ell ^{p}$ der Folgenraum der zur $p$ -ten Potenz summierbaren Folgen. Für $T\in {\mathcal {S}}_{p}(H,G)$ definiert man die $p$ -Norm des Operators gerade durch diese Norm der Folge:

\|T\|_{p}:=\left(\sum _{n=1}^{\infty }s_{n}(T)^{p}\right)^{\frac {1}{p}}

Die $p$ -Norm des Operators ist also genau die $\ell ^{p}$ -Norm der zugehörigen Folge der singulären Werte des Operators.

Für den Fall $G=H$ schreibt man abkürzend ${\mathcal {S}}_{p}(H):={\mathcal {S}}_{p}(H,H)$ . Oft nennt man nur diese Räume Schatten-Klassen.

Spezialfälle

Für $p=1$ entspricht der Raum ${\mathcal {S}}_{1}(H,G)$ der Menge der Spurklasseoperatoren.

Für $p=2$ entspricht ${\mathcal {S}}_{2}(H,G)$ dem Hilbertraum der Hilbert-Schmidt-Operatoren.

Eigenschaften

Die Schatten-Klassen haben viele Eigenschaften mit den $\ell ^{p}$ -Räumen gemeinsam. ${\mathcal {S}}_{p}(H)$ ist mit der $p$ -Norm ein Banachraum. Für $p\leq q$ gilt $\|\cdot \|_{p}\geq \|\cdot \|_{q}$ und daher ${\mathcal {S}}_{p}(H)\subset {\mathcal {S}}_{q}(H)$ . Ferner gilt stets $\|T\|\leq \|T\|_{p}$ , wobei $\|T\|$ die Operator-Norm von $T$ ist.

${\mathcal {S}}_{p}(H)$ ist mit der Operator-Multiplikation sogar eine Banachalgebra mit isometrischer Involution, wobei die Involution die Adjunktion ist. Sind $T\in {\mathcal {S}}_{p}(H)$ und $A,B\in L(H)$ stetige lineare Operatoren auf $H$ , so ist $ATB\in {\mathcal {S}}_{p}(H)$ und es gilt $\|ATB\|_{p}\leq \|A\|\|T\|_{p}\|B\|$ . Die Schatten-Klassen sind daher zweiseitige Ideale in $L(H)$ .

Seien $1<p,q<\infty$ mit ${\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1$ konjugierte Zahlen. Gilt dann $T\in {\mathcal {S}}_{p}(H)$ und $S\in {\mathcal {S}}_{q}(H)$ , so ist das Produkt $TS$ ein Spurklasse-Operator und es gilt $\operatorname {Sp} (TS)\leq \|T\|_{p}\|S\|_{q}$ . Jedes $S\in {\mathcal {S}}_{q}(H)$ definiert daher durch $T\mapsto \operatorname {Sp} (TS)$ ein stetiges lineares Funktional $\psi _{S}$ auf ${\mathcal {S}}_{p}(H)$ . Man kann zeigen, dass die Abbildung $S\mapsto \psi _{S}$ ein isometrischer Isomorphismus von ${\mathcal {S}}_{q}(H)$ auf den Dualraum von ${\mathcal {S}}_{p}(H)$ ist, oder kurz ${\mathcal {S}}_{p}(H)\,'\cong {\mathcal {S}}_{q}(H)$ . Man hat also auch hier ganz ähnliche Verhältnisse wie bei den Folgenräumen. Insbesondere sind die Schatten-Klassen für $1<p<\infty$ reflexiv, sie sind sogar gleichmäßig konvex. Wie bei den Folgenräumen ist dies für ${\mathcal {S}}_{1}(H)$ nicht der Fall. Die Verhältnisse für ${\mathcal {S}}_{1}(H)$ sind im Artikel Spurklasseoperator näher beschrieben.

Lokale Theorie der Schatten-Klassen

Auch im Rahmen der lokalen Theorie der Banachräume sind zentrale strukturelle Aspekte der endlich-dimensionalen Schatten-Klassen studiert worden; diese Räume sind von Bedeutung etwa im Bereich der Low-Rank matrix recovery, darunter die asymptotischen Volumina ihrer Einheitskugeln sowie Entropiezahlen oder auch s-Zahlen für natürliche Einbettungen zwischen diesen Räumen. Darüber hinaus wurde für Einheitskugeln selbstadjungierter Schatten-Klassen für den Fall $p>3$ die berühmte Variance Conjecture bewiesen.

Quellen

R. Schatten: Norm Ideals of Completely Continuous Operators. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, 2. Folge, ISBN 3-540-04806-5.
N. Dunford, J. T. Schwartz: Linear Operators, Part II, Spectral Theory. ISBN 0-471-60847-5.
R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis. Vieweg, 1992 ISBN 3-528-07262-8.

Einzelnachweise

[1] Z. Kabluchko, J. Prochno, C. Thäle: Exact asymptotic volume and volume ratio of Schatten unit balls

[2] A. Hinrichs, J. Prochno, J. Vybíral: Entropy numbers of embeddings of Schatten classes

[3] A. Hinrichs, J. Prochno, J. Vybíral: Gelfand numbers of embeddings of Schatten classes

[4] J. Prochno, M. Strzelecki: Approximation, Gelfand, and Kolmogorov numbers of Schatten class embeddings

[5] B. Dadoun, M. Fradelizi, O. Guédon, P.-A. Zitt: Asymptotics of the Inertia Moments and the Variance Conjecture in Schatten Balls