Differenzenmenge

Reduzierte Differenzenmenge

• Ist ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ eine Differenzenmenge der Ordnung ${\displaystyle n}$, dann sind auch die ${\displaystyle n^{2}+n+1}$ verschiedenen Mengen ${\displaystyle {\mathcal {D}}+i=\{d+i\mod (n^{2}+n+1)|d\in {\mathcal {D}}\}}$ für beliebige ${\displaystyle i\in \{0,1,2,\ldots ,n^{2}+n\}}$ solche Differenzenmengen.
• Jede Differenzenmenge ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ der Ordnung ${\displaystyle n}$ enthält genau zwei verschiedene Elemente ${\displaystyle d_{1},d_{2}}$ mit ${\displaystyle d_{1}+1\equiv d_{2}\mod (n^{2}+n+1).}$ Dann ist ${\displaystyle {\mathcal {D}}-d_{1}=\{0,1,\ldots k_{n+1}\}}$ ebenfalls eine solche Differenzenmenge.

Singer verwendet Differenzenmengen, die 0 und 1 enthalten und deren Elemente alle in ${\displaystyle \{0,1,2,\ldots ,n^{2}+n-1\}}$ liegen, als Normalformen für Differenzenmengen und bezeichnet eine solche Differenzenmenge dann als reduzierte Differenzenmenge (englisch: reduced perfect difference set). Beutelspacher und Rosenbaum verwenden als Normalenform Mengen, die 1 und 2 enthalten und deren Elemente alle in ${\displaystyle \{1,2,3,\ldots ,n^{2}+n\}}$ liegen, ohne dafür eine gesonderte Bezeichnung einzuführen. Es gilt:

Falls eine Differenzenmenge der Ordnung ${\displaystyle n}$ existiert, dann existiert auch eine solche, die 0 und 1 enthält (also eine reduzierte Differenzenmenge), der Ordnung ${\displaystyle n}$.

Projektive Ebene

Ist ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ eine Differenzenmenge der Ordnung ${\displaystyle n\geq 2}$, dann ist die folgendermaßen definierte Geometrie ${\displaystyle \mathop {\mathrm {P} } ({\mathcal {D}})}$ eine projektive Ebene der Ordnung ${\displaystyle n}$:

1. Die Punktmenge ist die Menge ${\displaystyle {\mathfrak {P}}=\{0,1,2,3,\ldots ,n^{2}+n\}\subseteq \mathbb {N} _{0}}$ von natürlichen Zahlen,
2. die Geradenmenge ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$ besteht aus den Teilmengen ${\displaystyle {\mathcal {D}}+i\subseteq {\mathfrak {P}},\quad i\in \{0,1,2,\ldots ,n^{2}+n\}}$,
3. die Inzidenzrelation ${\displaystyle I\subseteq ({\mathfrak {P}}\times {\mathfrak {G}})\cup ({\mathfrak {G}}\times {\mathfrak {P}})}$ von ${\displaystyle \mathop {\mathrm {P} } ({\mathcal {D}})}$ ist die mengentheoretische Enthaltenrelation zusammen mit ihrer Umkehrung: ${\displaystyle I={\in \cup \ni }.}$

Man sagt dann: Die so definierte projektive Ebene ${\displaystyle \mathop {\mathrm {P} } ({\mathcal {D}})=({\mathfrak {P}},{\mathfrak {G}},I)}$ „stammt von der Differenzenmenge ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$“ ab.

Singer-Zyklus, Satz von Singer

Sei ${\displaystyle \kappa }$ eine Kollineation auf einer endlichen projektiven Geometrie. Wenn ${\displaystyle \kappa }$ die Punkte und Hyperebenen der Geometrie zyklisch permutiert, das heißt im Falle einer endlichen Ebene ${\displaystyle ({\mathfrak {P}},{\mathfrak {G}},I)}$ der Ordnung ${\displaystyle n}$: wenn für beliebige ${\displaystyle A\in {\mathfrak {P}},g\in {\mathfrak {G}}}$ gilt

${\displaystyle {\begin{array}{rrclcl}(1)\quad &{\mathfrak {P}}&=&\{\kappa ^{i}(A)&|&i\in \{1,2,3,\ldots ,n^{2}+n+1\}\}\quad {\mathrm {und} }\\(2)\quad &{\mathfrak {G}}&=&\{\kappa ^{i}(g)&|&i\in \{1,2,3,\ldots ,n^{2}+n+1\}\}\end{array}}}$

dann heißt die von ${\displaystyle \kappa }$ erzeugte Kollineationsgruppe ${\displaystyle \langle \kappa \rangle }$ ein Singer-Zyklus der Geometrie, speziell der Ebene.

Der Satz von Dembowski-Hughes-Parker besagt, dass eine Gruppe von Kollineationen einer projektiven Geometrie genau dann auf der Punktmenge transitiv operiert, wenn sie auf der Menge der Hyperebenen transitiv operiert. Daraus folgt, dass die geforderten Eigenschaften (1) und (2) für zyklische Kollineationsgruppen auf einer Ebene äquivalent sind.

Die folgenden Aussagen werden als Satz von Singer bezeichnet:

1. Jede endliche, desarguessche, projektive Geometrie besitzt einen Singer-Zyklus. Dieser kann so gewählt werden, dass er sogar nur aus Projektivitäten besteht.
2. Eine endliche projektive Ebene besitzt genau dann einen Singer-Zyklus, wenn sie isomorph zu einer von einer Differenzenmenge abstammenden Ebene ist.

Ist ${\displaystyle \mathop {\mathrm {P} } ({\mathcal {D}})=({\mathfrak {P}},{\mathfrak {G}},I)}$ eine solche Ebene in ihrer oben beschriebenen Darstellung durch die Differenzenmenge ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$, dann ist

${\displaystyle \kappa$ :{\mathfrak {P}}=\{0,1,2,3,\ldots ,n^{2}+n\}\rightarrow {\mathfrak {P}};\quad x\mapsto x+1\mod (n^{2}+n+1)}

eine Kollineation der Ordnung ${\displaystyle n^{2}+n+1}$, die somit einen Singer-Zyklus erzeugt.

Konstruktion von Singer-Zyklen auf einer desarguesschen Geometrie

Jede desarguessche projektive Geometrie endlicher Ordnung ist isomorph zu einem ${\displaystyle d}$-dimensionalen projektiven Raum ${\displaystyle \mathbb {P} ^{d}(K)}$ über einem endlichen Körper ${\displaystyle K=\mathbb {F} _{q}}$. Der Koordinatenvektorraum ${\displaystyle V}$ von ${\displaystyle \mathbb {P} ^{d}(K)}$ ist als ${\displaystyle K}$-Vektorraum isomorph zu dem endlichen Körper ${\displaystyle L=\mathbb {F} _{q^{d+1}}}$. Die multiplikative Gruppe ${\displaystyle (L^{\ast },\cdot )}$ ist zyklisch, also existiert ein erzeugendes („primitives“) Element ${\displaystyle \xi \in L}$ dieser Gruppe, mit dem ${\displaystyle \langle \xi \rangle =L^{\ast }}$ gilt. Die Abbildung

${\displaystyle \Xi :K^{d+1}\rightarrow K^{d+1}:\quad v\mapsto \xi \cdot v}$

ist ein ${\displaystyle K}$-Vektorraumautomorphismus. Nach Wahl einer Punktbasis in ${\displaystyle \mathbb {P} ^{d}(K)}$ kann dieser Automorphismus als Koordinatendarstellung einer Projektivität angesehen werden. Da ${\displaystyle \Xi }$ transitiv auf ${\displaystyle V^{\ast }\cong \left(K^{d+1}\right)^{\ast }}$ operiert, operiert auch die dadurch dargestellte Projektivität transitiv auf der Punktmenge von ${\displaystyle \mathbb {P} ^{d}(K)}$ und erzeugt daher einen Singer-Zyklus dieser projektiven Geometrie.