Smarandache-Funktion

In der Mathematik ist die Smarandache-Funktion eine Folge bzw. eine zahlentheoretische Funktion, die mit der Fakultät verwandt ist. Historisch gesehen wurde sie zuerst von Édouard Lucas (1883), Joseph Neuberg (1887) und Aubrey J. Kempner (1918) betrachtet. 1980 wurde sie von Florentin Smarandache „wiederentdeckt“.

Definition und Werte

Die Smarandache-Funktion ${\displaystyle \mu (n)}$ ist definiert als die kleinste natürliche Zahl, für die ${\displaystyle n}$ die Fakultät von ${\displaystyle \mu (n)}$ teilt.

Formal ist ${\displaystyle \mu (n)}$ also die kleinste natürliche Zahl, für die gilt

${\displaystyle n\;|\;\mu (n)!}$

Beispiele

Ist zum Beispiel der Wert ${\displaystyle \mu (8)}$ gesucht, ist die kleinste der Zahlen 1!, 2!, 3!, … zu suchen, die durch 8 teilbar ist. Da ${\displaystyle \,1!=1}$ und ${\displaystyle 2!=1\cdot 2=2}$ und ${\displaystyle 3!=1\cdot 2\cdot 3=6}$ nicht durch acht teilbar sind, ${\displaystyle 4!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24=3\cdot 8}$ aber doch, ist ${\displaystyle \,\mu (8)=4}$.

Allerdings ist etwa ${\displaystyle \mu (7)=7}$, da die Zahl 7 keine der Zahlen 1!, 2!, …, 6! teilt, während sie 7! trivialerweise teilt.

Die ersten Werte sind:

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29
${\displaystyle \mu (n)}$	1 (*)	2	3	4	5	3	7	4	6	5	11	4	13	7	5	6	17	6	19	5	7	11	23	4	10	13	9	7	29

(*) Der Wert ${\displaystyle \mu (1)}$ wird von manchen Autoren auch als 0 definiert.

Eigenschaften

Trivialerweise gilt

${\displaystyle \,\mu (n)\leq n,}$

da ja ${\displaystyle n}$ auf jeden Fall ${\displaystyle n!=n\cdot (n-1)!}$ teilt.

Ein grundlegendes Resultat ist, dass Gleichheit in der obigen Ungleichung genau für prime ${\displaystyle n}$ oder ${\displaystyle n=4}$ eintritt:

${\displaystyle \mu (n)=n\qquad \Leftrightarrow \qquad n{\text{ prim}}\quad {\text{oder}}\quad n=4}$

Beweis:

${\displaystyle \Rightarrow }$: Sei ${\displaystyle \mu (n)=n}$ und ${\displaystyle n}$ nicht prim. Dann ist ${\displaystyle n=4}$ zu zeigen. Da ${\displaystyle n}$ nicht prim ist, gibt es natürliche Zahlen ${\displaystyle 2\leq s\ \leq t<n}$ mit ${\displaystyle n=st}$. Wäre sogar ${\displaystyle s<t}$, so wäre ${\displaystyle n=st|t!}$ und man erhielte den Widerspruch ${\displaystyle \mu (n)\leq t<n}$. Also ist ${\displaystyle s=t}$ und daher ${\displaystyle n=t^{2}}$. Wäre ${\displaystyle 2<t}$, so folgte ${\displaystyle t<2t<t^{2}=n}$, also ${\displaystyle t<2t\leq n-1}$ und damit ${\displaystyle n=t^{2}|t\cdot 2t|(2t)!|(n-1)!}$, und man hätte erneut den Widerspruch ${\displaystyle \mu (n)<n}$. Daher muss ${\displaystyle t=2}$ sein und es folgt ${\displaystyle n=4}$.

${\displaystyle \Leftarrow }$: Ist ${\displaystyle n}$ prim, so teilt ${\displaystyle n}$ keine Zahl ${\displaystyle m!}$ für ${\displaystyle m<n}$, da ${\displaystyle n}$ per def. nicht in ${\displaystyle m!}$ vorkommt. Daher gilt ${\displaystyle \mu (n)=n}$. ${\displaystyle \mu (4)=4}$ ist klar.

Übrigens ergibt sich dadurch für ${\displaystyle \pi (x)}$, die Anzahl der Primzahlen kleinergleich ${\displaystyle x}$ und der Ganzzahlfunktion:

${\displaystyle \pi (x)=-1+\sum _{k=2}^{x}\left\lfloor {\frac {\mu (k)}{k}}\right\rfloor }$.

Nach Paul Erdős stimmt ${\displaystyle \mu (n)}$ mit dem größten Primfaktor von ${\displaystyle n}$ überein für asymptotisch fast alle ${\displaystyle n}$, d. h. die Anzahl der Zahlen kleiner gleich ${\displaystyle n}$, für die dies nicht gilt, ist o(n).

Allgemein gilt ferner

${\displaystyle \,\mu (n!)=n}$

und

${\displaystyle \mu (n)\geq \mathrm {gpf} (n)}$

wobei ${\displaystyle {\rm {gpf}}}$ für den größten Primfaktor von ${\displaystyle n}$ stehe.

Ganz allgemein gilt

${\displaystyle \mu \left(p_{1}^{\alpha _{1}}\cdot p_{2}^{\alpha _{2}}\cdot \ldots \cdot p_{n}^{\alpha _{n}}\right)=\max \left[\mu \left(p_{1}^{\alpha _{1}}\right),\mu \left(p_{2}^{\alpha _{2}}\right),\ldots ,\mu \left(p_{n}^{\alpha _{n}}\right)\right]}$

Für (gerade) vollkommene Zahlen ${\displaystyle n}$ gilt außerdem (${\displaystyle k\in \mathbb {N} ,p{\text{ prim}}}$)

${\displaystyle \mu (n)=\mu (2^{k-1}\cdot (2^{k}-1))=2^{k}-1=p}$

Abwandlungen

Smarandache-Ceil-Funktion

Die Smarandache-Wagstaff-Funktion k-ter Ordnung ${\displaystyle S_{k}(n)}$ schließlich ist als die kleinste natürliche Zahl definiert, für die ${\displaystyle \,[S_{k}(n)]^{k}}$ durch ${\displaystyle n}$ teilbar ist.

Die ersten Werte:

${\displaystyle k}$	${\displaystyle S_{k}(n)}$
1	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, …	${\displaystyle n}$
2	1, 2, 3, 2, 5, 6, 7, 4, 3, 10, 11, 6, 13, 14, 15, …	(Folge A019554 in OEIS)
3	1, 2, 3, 2, 5, 6, 7, 2, 3, 10, 11, 6, 13, 14, 15, …	(Folge A019555 in OEIS)
4	1, 2, 3, 2, 5, 6, 7, 2, 3, 10, 11, 6, 13, 14, 15, …	(Folge A053166 in OEIS)

Weiteres

• Tutescu vermutete, dass für zwei aufeinanderfolgende Zahlen deren Werte der Smarandache-Funktion stets verschieden sind:

${\displaystyle \mu (n)\not =\mu (n+1)\qquad \quad {\text{für alle }}n}$

Die Vermutung wurde bis ${\displaystyle 10^{9}}$ bestätigend nachgerechnet.

• Es gibt eine recht große Vielfalt konvergenter Reihen, die die Smarandache-Funktion verwenden. Derartige Grenzwerte werden oft als Smarandache-Konstanten bezeichnet – nicht zu verwechseln mit der Smarandache-Konstante in der verallgemeinerten Andricaschen Vermutung.

Die Reihe der Kehrwerte der Fakultäten der Smarandache-Funktion konvergiert (erste Smarandache-Konstante):

${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{\mu (n)!}}=1{,}09317\dots }$ (Folge A048799 in OEIS)

Literatur

• Kenichiro Kashihara: Comments and topics on Smarandache notions and problems. (PDF; 1,6 MB) Erhus University Press 1996, ISBN 1-87958-555-3.
• Norbert Hungerbühler, Ernst Specker: A Generalisation of the Smarandache Function to Several Variables. (PDF; 220 kB) In: Electronic Journal of Combinatorical Number Theory, 6, 2006, #A23.
• C. Dumitrescu, N. Virlan, St. Zamfir, E. Radescu, N. Radescu, F.Smarandache: Smarandache Type Function Obtained by Duality. In: Studii si Cercetari Stiintifice, Seria: Matematica, University of Bacau, No. 9, 1999, S. 49–72, arxiv:0706.2858.
• Sebastian Martin Ruiz, M. L. Perez: Properties and Problems related to Smarandache Type Functions. In: Mathematics Magazine for grades 1-12, 2/2004, S. 46–53, arxiv:math/0407479.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Smarandache Function. In: MathWorld (englisch).
• Das Smarandache Function Journal, fs.gallup.unm.edu – Vol. 1 (PDF; 1,6 MB), Vol. 6 (PDF; 2,6 MB)
• und Smarandache Notions Journal – Vol. 7 (PDF; 5,4 MB), Vol. 8 (PDF; 8,8 MB), Vol. 9 (PDF; 5,0 MB), Vol. 10 (PDF; 7,3 MB), Vol. 11 (PDF; 10,8 MB), Vol. 12 (PDF; 12,5 MB), Vol. 13 (PDF; 11,1 MB)

Einzelnachweise

1. ↑ E. Lucas: Question Nr. 288. In: Mathesis, 3, 1883, S. 232
2. ↑ J. Neuberg: Solutions de questions proposées, Question Nr. 288. In: Mathesis, 7, 1887, S. 68–69
3. ↑ Aubrey J. Kempner: Miscellanea. In: American Mathematical Monthly, 25, 1918, S. 201–210, doi:10.2307/2972639
4. ↑ Florentin Smarandache: A Function in Number Theory. In: An. Univ. Timişoara, Ser. St. Mat., 18, 1980, S. 79–88. arxiv:math/0405143
5. ↑ Folge A002034 in OEIS
6. ↑ Sebastián Martín Ruiz: Smarandache’s function applied to perfect numbers. In: Smarandache Notions Journal, Vol. 10, Frühjahr 1999, S. 114. arxiv:math/0406241
7. ↑ R.G.E. Pinch: arxiv:math/0504118 in arXiv, 6. April 2005
8. ↑ Eric W. Weisstein: Smarandache Near-to-Primorial Function. In: MathWorld (englisch).
9. ↑ Eric W. Weisstein: Smarandache-Kurepa Function. In: MathWorld (englisch).
10. ↑ Eric W. Weisstein: Smarandache-Wagstaff Function. In: MathWorld (englisch).
11. ↑ Eric W. Weisstein: Smarandache Ceil Function. In: MathWorld (englisch).
12. ↑ L. Tutescu: On a Conjecture Concerning the Smarandache Function. Abstracts of Papers Presented to the American Mathematical Society 17, S. 583, 1996