Smith-Wilson-Extrapolation

Die Smith-Wilson-Extrapolation oder Smith-Wilson-Methode ist ein finanzmathematisches Verfahren zur Extrapolation von Terminzinsen.

Hintergrund und Bedeutung

Das Verfahren wurde Ende der 1990er Jahre von den zwei Mitarbeitern Andrew Smith und Tim Wilson des britischen Unternehmensberaters Bacon & Woodrow für aktuarielle Bewertungsfragen entwickelt und anschließend veröffentlicht. Es kann aufgrund der überschaubaren Anzahl von Parametern einfach implementiert werden.

Im Rahmen der europaweiten Solvency-II-Regulierung wurde die Extrapolation als maßgebliches Vorgehen für die Bewertung der versicherungstechnischen Rückstellungen festgelegt. Dies wird seitens der Europäischen Aufsichtsbehörde für das Versicherungswesen und die betriebliche Altersversorgung (EIOPA) in der technischen Dokumentation für die Ermittlung der von der Behörde regelmäßig veröffentlichten Zinsstrukturkurve festgehalten. Ein zentraler Parameter der Smith-Wilson-Extrapolation ist die Ultimate Forward Rate (UFR), der festlegt wohin sich die Zinsen bei am langen Ende der Laufzeitkurve entwickelt. Da für sehr lange Laufzeiten von 50 oder 100 Jahren keine liquiden Marktdaten existieren, lassen sich dort keine Zinsen beobachten. Der UFR gibt genau dafür mittels eines Zinssatzes den Zielwert vor, gegen die die Zinskurve für lange Laufzeiten konvergiert. Die UFR wird von der EIOPA jährlich überprüft und vergeben. Der UFR wurde für den Zeitraum ab dem 1. Januar 2026 für die in Euro laufende Zinsstrukturkurve auf 3,30 % festgelegt. Dabei wird für die UFR je Währung die Summe aus erwartetem realen Zinssatz und Inflationserwartung für diese Währung zugrunde gelegt.

Mathematische Formulierung

Bezeichne UFR die Ultimate Forward Rate und sei ${\displaystyle u_{j}}$ die Zeit bis zur j-ten Fälligkeit. Dann gibt ${\displaystyle P(t)}$ den Preis einer Nullkuponanleihe zum Zeitpunkt ${\displaystyle t}$ an.

${\displaystyle P(t)=e^{-UFR\cdot t}+\sum _{j=1}^{N}\xi _{j}\cdot W(t,u_{j})}$

mit ${\displaystyle W(t,u_{j})=e^{-UFR\cdot (t+u_{j})}\cdot (\alpha \cdot \min(t,u_{j})-0.5e^{-\alpha \cdot \max(t,u_{j})}\cdot (e^{\alpha \cdot \min(t,u_{j})}-e^{-\alpha \cdot \min(t,u_{j})}))}$

und der symmetrischen Matrix ${\displaystyle W=(W(u_{i},u_{j}))_{i=1,...,N:j=1,...,N}}$

und ${\displaystyle p=(P(u_{1}),...,P(u_{N}))^{T}}$, ${\displaystyle \mu =(e^{-UFR\cdot u_{1}},...,e^{-UFR\cdot u_{N}})^{T}}$, ${\displaystyle \xi =W^{-1}(p-\mu )}$.

${\displaystyle {\alpha }}$ gibt dabei die erwartete Mean-Reversion, d. h. die Konvergenzgeschwindigkeit zur Ultimate Forward Rate an. Diese ist jedoch im Gegensatz zu den aus Marktdaten ablesbaren Preisen für Nullkuponanleihen nicht beobachtbar und erfordert daher eine Experteneinschätzung.

Literatur

• Andrew Smith, Tim Wilson: Fitting Yield Curves with Long Term Constraints. Research report, Bacon & Woodrow 2000.

Weblinks

• EIOPA: RFT Technical Documentation. The methodology to derive EIOPA's risk-free interest rate term structures (englisch) – Methodisch-mathematische Grundlagen
• A Technical Note on the Smith-Wilson Method (englisch)

Einzelnachweise

1. ↑ eiopa.europa.eu: „Technical documentation of the methodology to derive EIOPA’s risk-free interest rate term structures“
2. ↑ EIOPA publishes the Ultimate Forward Rate (UFR) for 2025, aufgerufen am 13. April 2026.
3. ↑ EIOPA veröffentlicht die Ultimate Forward Rate (UFR) für Solvenzbewertung 2026, aufgerufen am 14. April 2026.