Springer-Korrespondenz

In der Mathematik ist die Springer-Korrespondenz eine Beziehung aus der Darstellungstheorie von Gruppen.

Die Springer-Korrespondenz konstruiert zu jeder unipotenten Konjugationsklasse einer halbeinfachen algebraischen Gruppe ${\displaystyle G}$ eine Darstellung ihrer Weyl-Gruppe ${\displaystyle W}$. Alle Darstellungen der Weyl-Gruppe lassen sich auf diese Weise konstruieren.

Die Idee ist, zu einem unipotenten Element ${\displaystyle u\in G}$ die Varietät ${\displaystyle V_{u}}$ der ${\displaystyle u}$ enthaltenden Borel-Untergruppen zu betrachten, und die Weyl-Gruppe ${\displaystyle W}$ auf der top-dimensionalen Kohomologie von ${\displaystyle V_{u}}$ wirken zu lassen. (Für algebraische Gruppen über endlichen Körpern verwendet man l-adische Kohomologie, für algebraische Gruppen über ${\displaystyle \mathbb {C} }$ die singuläre Kohomologie mit rationalen Koeffizienten.) Unipotente Elemente in derselben Konjugationsklasse geben äquivalente Darstellungen, und jede Darstellung von ${\displaystyle W}$ kann auf diese Weise konstruiert werden.

Literatur

• T. A. Springer: A construction of representations of Weyl groups, Invent. Math. 44 (1978), no. 3, 279–293
• David Kazhdan, George Lusztig: A topological approach to Springer’s representations, Adv. in Math. 38 (1980), no. 2, 222–228

Weblinks

• Dustin Clausen: The Springer correspondence
• Springer Correspondence (nLab)