Strom (Mathematik)

In der geometrischen Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, verallgemeinern Ströme (engl.: currents) den Begriff von Distributionen und implizit (Unter-)Mannigfaltigkeiten. Sie wurden von Georges de Rham eingeführt.

Ströme und normale Ströme

Ströme

Definition

Ein $m$ -dimensionaler Strom oder $m$ -Strom in $ℝ^{n}$ ist ein stetiges, lineares Funktional auf $𝒟^{m} (ℝ^{n}) := C_{c}^{\infty} (ℝ^{n}, Λ^{m} ℝ^{n})$ . Die Menge der $m$ -dimensionalen Ströme auf $O$ wird mit $𝒟_{m} (O)$ bezeichnet.

Mit $Λ^{m} ℝ^{n}$ wird die Menge der m-linearen alternierenden Formen bezeichnet, so dass $𝒟^{m} (ℝ^{n})$ der Raum der $m$ -Formen auf $ℝ^{n}$ mit kompaktem Träger ist. Ein Strom ist ein Element des topologischen Dualraums $𝒟_{m}$ .

Eigenschaften

Eine Folge $(T_{i})_{i \in ℕ}$ in $𝒟_{m} (ℝ^{n})$ konvergiert schwach gegen einen Strom $T \in 𝒟_{m} (ℝ^{n})$ , wenn ${lim}_{i \to \infty} T_{i} (ω) = T (ω)$ für alle $ω \in 𝒟^{m} (ℝ^{n})$ ; wir scheiben $T_{i} ⇀ T$ . Der Träger $supp T$ eines Stromes $T \in 𝒟_{m} (ℝ^{n})$ ist die kleinste abgeschlossene Menge $C \subset ℝ^{n}$ mit der Eigenschaft, dass $T (ω) = 0$ für alle $ω \in 𝒟^{m} (ℝ^{n})$ mit $supp ω \cap C = ∅︀$ .

Rand eines Stromes

Sei $T \in 𝒟_{m} (ℝ^{n}), m \geq 1$ . Der Rand von $T$ ist der Strom $\partial T \in 𝒟_{m - 1} (ℝ^{n})$ , welcher durch $\partial T (π) := T (d π)$ für alle $π \in 𝒟^{m - 1} (ℝ^{n})$ definiert ist. Ein Strom heißt geschlossen, wenn sein Rand verschwindet.

Es gilt $\partial \circ \partial = 0$ , weil $d \circ d = 0$ , $supp \partial T \subset supp T$ , und $T_{i} ⇀ T$ impliziert $\partial T_{i} ⇀ \partial T$ .

Masse

Seien, $T \in 𝒟_{m} (ℝ^{n})$ . Für $U \in ℝ^{n}$ offen und $A \subset ℝ^{n}$ beliebig. Man setze

‖ T ‖ (U) := sup {T (ω) : supp ω \subset U, sup_{x} ‖ w ‖ \leq 1}

und

‖ T ‖ (A) := inf {‖ T ‖ (U) : A \subset U}

.

Das definiert ein reguläres äußeres Borel-Maß $‖ T ‖$ auf $ℝ^{n}$ . Wir definieren die Masse von $T$ durch $𝐌 (T) = ‖ T ‖ (ℝ^{n}) \in [0, \infty]$ . Den Vektorraum aller $T \in 𝒟_{m} (ℝ^{n})$ mit $𝐌 (T) < \infty$ bezeichnen wir mit $𝐌_{m} (T)$ . Ein Strom $T \in 𝒟_{m} (ℝ^{n})$ hat lokal endliche Masse, falls $‖ T ‖$ ein Radon-Maß ist, also falls $‖ T ‖$ endlich auf kompakten Mengen ist, und $𝐌_{m, l o c} (T)$ bezeichnet den Vektorraum aller dieser Ströme.

Normale Ströme

Die Theorie der normalen Ströme wurde von H. Federer und W. H. Fleming eingeführt.

Sei $T \in 𝒟_{m} (ℝ^{n}), m \geq 1$ . Man setze $𝐍 (T) := 𝐌 (T) + 𝐌 (\partial T)$ . Wir nennen $T$ normal, falls $𝐍 (T) < \infty$ und lokal-normal, falls $‖ T ‖ + ‖ \partial T ‖$ ein Radon-Maß ist. Wir bezeichnen den Vektorraum aller normalen Ströme mit $𝐍_{m} (T)$ und den Vektorraum aller lokal-normalen Ströme mit $𝐍_{m, l o c} (T)$ .

Wichtige Sätze für n-Ströme in ℝⁿ

Konstanzsatz

Sei $U \subset ℝ^{n}$ offen und zusammenhängend, $T \in 𝒟_{n} (ℝ^{n})$ und $supp \partial T \subset ℝ^{n} ∖ U$ . Dann existiert eine Konstante $c \in ℝ$ , sodass $supp (T - c [U]) \cap U = ∅︀$ .

Hier ist $[U] := [U, e_{1} \land \dots \land e_{n}]$ , also $[U] (ω) = \int ⟨ e_{1} \land \dots \land e_{n}, ω ⟩ d x = \int f d x$ für $ω = f d x^{1} \land \dots \land d x^{n} \in 𝒟^{n} (ℝ^{n})$ .

Charakterisierung von N_m,loc(T)

Sei $T \in 𝒟_{n} (ℝ^{n})$ . Dann ist $T \in 𝐍_{m, l o c} (ℝ^{n})$ dann und nur dann, wenn $T = [ℝ^{n}] ⌞ u$ für ein $u \in {B V}_{l o c} (ℝ^{n})$ , in welchem Fall $‖ \partial T ‖ = | D u |$ ist. Hier bezeichnet ${B V}_{l o c} (ℝ^{n})$ die Funktionen lokal beschränkter Variation.

Integralströme

Ganzzahlig rektifizierbare Ströme

Sei $ℋ^{m}$ das Hausdorff-Maß auf dem $ℝ^{n}$ . Ein Strom $T \in 𝒟_{m} (ℝ^{n})$ heißt lokal ganzzahlig rektifizierbarer Strom, falls man diesen in folgender Form darstellen kann:

$T (ω) = \int_{E} ⟨ τ (x), ω (x) ⟩ i θ (x) d ℋ^{m} (x),$ wobei

$E \subset ℝ^{n}$ abzählbar $ℋ^{m}$ -rektifizierbar und eine $ℋ^{m}$ -messbare Menge ist,
$θ$ eine lokale $ℋ^{m}$ -integrierbare natürliche Funktion auf $E$ ist,
$τ$ eine $ℋ^{m}$ -messbare $Λ_{m} ℝ^{n}$ -wertige Funktion auf $E$ , sodass für $ℋ^{m}$ -fast überall $x \in E$ , $τ (x)$ ist einfach, $| τ (x) | < 1$ , und $τ (x)$ bezeichnet den approximierten Tangentialraum ${T a n}^{m} (E, x) \in G (n, m)$ .

Die Menge der lokal ganzzahlig rektifizierbaren Strömen in $ℝ^{n}$ wird mit $ℐ_{m, l o c} (ℝ^{n})$ bezeichnet. Ein ganzzahlig rektifizierbarer Strom in $ℝ^{n}$ ist eine Element von $ℐ_{m} (ℝ^{n}) := ℐ_{m, l o c} (ℝ^{n}) \cap 𝐌_{m} (ℝ^{n})$ .

Integralstrom

Der Raum der lokal integrierbaren Ströme in $ℝ^{n}$ ist definiert durch $𝐈_{m, l o c} (ℝ^{n}) := {T \in ℐ_{m, l o c} (ℝ^{n}) : \partial T \in ℐ_{m - 1, l o c} (ℝ^{n})}$ für $m \geq 1$ und $𝐈_{0, l o c} (ℝ^{n}) := ℐ_{0, l o c} (ℝ^{n})$ . Ein Integralstrom in $ℝ^{n}$ ist ein Element von $𝐈_{m} (ℝ^{n}) := 𝐈_{m, l o c} (ℝ^{n}) \cap 𝐍_{m} (ℝ^{n})$ . Weiter bezeichnen wir $𝐈_{m . c} (ℝ^{n}) := {T \in 𝐈_{m} (ℝ^{n}) : supp T ist kompakt}$ .

Minimierung von Strömen

Ein Strom $T \in ℐ_{m, l o c} (ℝ^{n})$ heißt minimierbar wenn $𝐌 (T ⌞ K) \leq 𝐌 (T^{'})$ für jede kompakte Menge $K \subset ℝ^{n}$ und jedes $T^{'} \in ℐ_{m, l o c} (ℝ^{n})$ mit kompaktem Träger und Rand $\partial T^{'} = \partial (T ⌞ K)$ .

Literatur

Urs Lang: Introduction to Geometric Measure Theory

Einzelnachweise

↑ G. de Rham: Variétés différentiables, formes, courants, formes harmoniques. Hrsg.: Actualités scientifiques et industrielles, Vol. 1222, Hermann, Paris 1955.
↑ Herbert Federer, Wendell H. Fleming: Normal and Integral Currents. In: The Annals of Mathematics. Band 72, Nr. 3, November 1960, ISSN 0003-486X, S. 458, doi:10.2307/1970227.

[1] G. de Rham: Variétés différentiables, formes, courants, formes harmoniques. Hrsg.: Actualités scientifiques et industrielles, Vol. 1222, Hermann, Paris 1955.

[2] Herbert Federer, Wendell H. Fleming: Normal and Integral Currents. In: The Annals of Mathematics. Band 72, Nr. 3, November 1960, ISSN 0003-486X, S. 458, doi:10.2307/1970227.