Sylvestermatrix

In der Algebra ist die Sylvestermatrix zu zwei Polynomen eine spezielle mit den Koeffizienten der Polynome besetzte Matrix, deren Determinante die Resultante der Polynome ergibt. Sie ist nach dem britischen Mathematiker James J. Sylvester benannt.

Definition

Seien $R$ ein kommutativer Ring sowie $f$ und $g$ zwei Polynome

f = \sum_{i = 0}^{m} f_{i} X^{i} = f_{0} + f_{1} X + \dots + f_{m} X^{m}

und

g = \sum_{i = 0}^{n} g_{i} X^{i} = g_{0} + g_{1} X + \dots + g_{n} X^{n}

aus dem Polynomring $R [X]$ mit den Graden $\deg (f) = m \geq 1$ und $\deg (g) = n \geq 1$ .

Dann heißt die quadratische $(m + n)$ -Matrix

Syl (f, g) = (\begin{matrix} f_{m} & f_{m - 1} & \dots & f_{1} & f_{0} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & f_{m} & f_{m - 1} & \dots & f_{1} & f_{0} & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋱ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & \dots & 0 & f_{m} & f_{m - 1} & \dots & f_{1} & f_{0} \\ g_{n} & g_{n - 1} & \dots & g_{1} & g_{0} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & g_{n} & g_{n - 1} & \dots & g_{1} & g_{0} & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋱ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & \dots & 0 & g_{n} & g_{n - 1} & \dots & g_{1} & g_{0} \end{matrix}) = (\begin{matrix} S_{1} (f) \\ ⋮ \\ S_{n} (f) \\ S_{1} (g) \\ ⋮ \\ S_{m} (g) \end{matrix})

die Sylvestermatrix zu $f$ und $g$ . Die $S_{i} (P)$ stehen für eine Zeile der Matrix mit Koeffizienten des Polynoms $P \in {f, g}$ .

Für das Polynom $f$ mit $\deg (f) + 1$ Koeffizienten gibt es $n = \deg (g)$ Zeilen mit verschobenen Koeffizienten, weil $n + m - (\deg (f) + 1) = n - 1$ Einträge in einer Zeile jeweils mit $0$ gefüllt sind. Daraus folgt: Die erste Zeile, die ganz links in der Matrix beginnt, kann insgesamt $n - 1$ mal nach rechts verschoben werden.

Beispiel: Seien $\deg (f) = 4$ und $\deg (g) = 3$ , dann ist die Sylvestermatrix

Syl (f, g) = (\begin{matrix} f_{4} & f_{3} & f_{2} & f_{1} & f_{0} & 0 & 0 \\ 0 & f_{4} & f_{3} & f_{2} & f_{1} & f_{0} & 0 \\ 0 & 0 & f_{4} & f_{3} & f_{2} & f_{1} & f_{0} \\ g_{3} & g_{2} & g_{1} & g_{0} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & g_{3} & g_{2} & g_{1} & g_{0} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & g_{3} & g_{2} & g_{1} & g_{0} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & g_{3} & g_{2} & g_{1} & g_{0} \end{matrix})

Eigenschaften

Die trunkierte Sylvester-Matrix $M_{j i}$ wird verwendet, um den Grad des größten gemeinsamen Teilers zweier Polynome $f$ und $g$ zu bestimmen.

Für $0 \leq i \leq j \leq min (m, n)$ entsteht $M_{j i}$ aus der Sylvestermatrix durch folgende Schritte

Man behält die ersten $m - j$ Zeilen von $f$ -Koeffizienten,
Man behält die ersten $n - j$ Zeilen von $g$ -Koeffizienten,
Man behält die ersten $m + n - 2 j$ Spalten

M_{j i} = (\begin{matrix} f_{m} & \dots & f_{0} & 0 & 0 \\ 0 & ⋱ & ⋱ & 0 \\ 0 & 0 & f_{m} & f_{0} \\ 0 & 0 & 0 & f_{m} & f_{1} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & f_{m} & \dots & f_{j} \\ g_{n} & \dots & g_{0} & 0 & 0 \\ 0 & ⋱ & ⋱ & 0 \\ 0 & 0 & g_{n} & g_{0} \\ 0 & 0 & 0 & g_{n} & g_{1} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & g_{n} & \dots & g_{j} \end{matrix})

$M_{i j}$ ist dann eine $(m + n - 2 j) \times (m + n - 2 j)$ -Matrix.

Das Polynom

S_{j} (f, g) = \sum_{i = 0}^{j} (det M_{j i}) X^{i}

ist dann die $j$ -te Subresultante von $f$ und $g$ ; ihr Leitkoeffizient

{psc}_{j} (f, g) = det M_{j j}

ist der $j$ -te Hauptsubresultantenkoeffizient. Der $0$ -te Hauptsubresultantenkoeffizient

res (f, g) = det Syl (f, g)

schließlich ist die Resultante von $f$ und $g$ .

Bedeutung

Die Hauptsubresultantenkoeffizienten haben eine wichtige Bedeutung als „Gradmesser“ des größten gemeinsamen Teilers von Polynomen: Der Grad von $ggT (f, g)$ für zwei Polynome ungleich 0 über einem kommutativen faktoriellen Integritätsring ist genau das kleinste $k \geq 0$ mit ${psc}_{k} (f, g) \neq 0$ .

Einzelnachweise

↑ Peter F. Stiller: An Introduction to the Theory of Resultants. 2004, S. 4 (semanticscholar.org).
↑ Peter F. Stiller: An Introduction to the Theory of Resultants. 2004 (semanticscholar.org).

[1] Peter F. Stiller: An Introduction to the Theory of Resultants. 2004, S. 4 (semanticscholar.org).

[2] Peter F. Stiller: An Introduction to the Theory of Resultants. 2004 (semanticscholar.org).