Teleskopprodukt

Ein Teleskopprodukt ist in der Mathematik ein endliches Produkt von Quotienten, bei dem sich je zwei benachbarte Faktoren (außer dem ersten und dem letzten) gegenseitig aufheben. Diesen Vorgang nennt man Teleskopieren eines Produkts. Der Begriff ist abgeleitet vom Ineinanderschieben zweier oder mehrerer zylindrischer Rohre.

Falls ${\displaystyle (a_{k})_{k\in \mathbb {N} }}$ eine Folge ist, so ist

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}{\frac {a_{i+1}}{a_{i}}}}$

ein Teleskopprodukt. Kann man ein Produkt in dieser Form schreiben, vereinfacht sich seine Auswertung:

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}{\frac {a_{i+1}}{a_{i}}}={\frac {a_{2}}{a_{1}}}\cdot {\frac {a_{3}}{a_{2}}}\cdot {\frac {a_{4}}{a_{3}}}\cdots {\frac {a_{n}}{a_{n-1}}}\cdot {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}={\frac {a_{n+1}}{a_{1}}}.}$

Analoges gilt für Summen in Exponenten, da sich Teleskopprodukte oft durch Logarithmieren auf Teleskopsummen zurückführen lassen:

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}{\frac {a_{i+1}}{a_{i}}}=\exp \left(\sum _{i=1}^{n}\ln a_{i+1}-\ln a_{i}\right).}$

Beispiele

• einfaches Teleskopprodukt:

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}{\frac {k+1}{k}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {3}{2}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdots {\frac {n+1}{n}}=n+1.}$

• Produkt mit Partialbruchstruktur:

Aus der Zerlegung

${\displaystyle {\frac {k}{k+1}}={\frac {k+1-1}{k+1}}=1-{\frac {1}{k+1}}}$

folgt kein direktes Teleskopprodukt, aber durch Umformung erhält man

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}{\frac {k}{k+1}}={\frac {1}{n+1}}.}$

• Verbindung zu Fakultäten:

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}{\frac {k+1}{k}}={\frac {(n+1)!/1!}{n!/0!}}=n+1.}$

• unendliches Teleskopprodukt:

${\displaystyle \prod _{k=1}^{\infty }{\frac {k}{k+1}}=0,}$

da ${\displaystyle a_{k}=k}$ gegen unendlich divergiert und die Partielle Produkte gegen 0 konvergieren.

Literatur

• Rolf Walter: Einführung in die Analysis. Band 1. Walter de Gruyter, Berlin u. a. 2007, ISBN 978-3-11-019539-2, S. 31–32.
• Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Band 1. 6. Auflage. Teubner, Stuttgart u. a. 1989, S. 91, 94, 194.