Theil-Index

Der Theil-Index gehört zu der Klasse der Ungleichverteilungsmaße und wurde von dem Ökonometriker Henri Theil entwickelt. Er dient der statistischen Beschreibung von Einkommens- und Vermögensverteilungen.

Der Theil-Index kann zur Beschreibung der Ungleichheit innerhalb und zwischen Gruppen zerlegt werden. Diese Zerlegbarkeit ist ein wichtiger Unterschied zu dem Gini-Koeffizient, einem populäreren Ungleichheitsmaß.

Definition

Für $n$ Personen mit Einkommen $y_{1}, \dots, y_{n}$ ist das Durchschnittseinkommen $μ = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} y_{i}$ und es werden Theil-Indizes $T_{L}, T_{T}, T_{S}$ unter der Konvention $0 \cdot \ln 0 = 0$ wie folgt definiert:

T_{T} = T_{α = 1} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (\frac{y_{i}}{μ} \cdot \ln \frac{y_{i}}{μ})

T_{L} = T_{α = 0} = M L D = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (\ln \frac{μ}{y_{i}})

T_{S} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} [\frac{1}{2} (\frac{y_{i}}{μ} - 1) \ln (y_{i})]

MLD steht hierbei für mean log deviation. Es gelten dabei die Beziehungen

T_{L} (y) = T_{T} (\frac{1}{y})

T_{S} = \frac{T_{T} + T_{L}}{2}

0 \leq T_{L}

T_{L} = 0 \Leftrightarrow T_{T} = 0 \Leftrightarrow T_{S} = 0 \Leftrightarrow y_{i} = μ für alle i

T_{T} = \ln (n) \Leftrightarrow y_{i} = n μ für ein i

T_{S} (y) = T_{S} (\frac{1}{y})

Beziehungen/Ableitungen

Claude Shannon entwickelte sein Entropie-Maß aus der Wahrscheinlichkeit des Auftretens eines Ereignisses. Theil leitete seinen Index daraus ab. Der Theil-Index kann als die Wahrscheinlichkeit verstanden werden, mit der ein von einer Bevölkerung entnommener Euro von einem bestimmten Individuum stammt. Das ist das Gleiche wie der erste Ausdruck: Der Anteil eines Individuums am Gesamteinkommen.

Ist $S$ das Shannons-Maß, so gilt

T = \ln (N) - S

.

$e^{T}$ ist ein Gleichverteilungsmaß, mit dazugehörigem Ungleichverteilungsmaß $(1 - e^{T})$ .

Zerlegbarkeit

Der Theil-Index aggregiert die gewichtete Summe der Ungleichheiten von Untergruppen. So kann damit zum Beispiel die Ungleichverteilung in Deutschland aus den Ungleichverteilungen in den Ländern berechnet werden.

Wenn die Bevölkerung in $m$ Untergruppen aufgeteilt werden kann und $s_{k}$ der Einkommensanteil einer Untergruppe $k$ am Gesamteinkommen ist, dann beschreibt $T_{k}$ die Ungleichverteilung in der Untergruppe und ${\overline{x}}_{k}$ ist das durchschnittliche Einkommen der Untergruppe $k$ . Der Theil-Index $T_{k}$ ist dann

T = \sum_{k = 1}^{m} s_{k} T_{k} + \sum_{k = 1}^{m} s_{k} \ln \frac{{\overline{x}}_{k}}{\overline{x}}

.

So beschrieben, ist der Theil-Index $T_{k}$ dann der „Beitrag“ der Untergruppe zur Ungleichverteilung in der gesamten Gruppe.

Literatur

Henri Theil: The Information Approach to Demand Analysis. In: Econometrica. Vol. 33, Nr. 1, Januar 1965, ISSN 0012-9682, S. 67–87 (JSTOR:1911889)

Weblinks

Pedro Conceição, Pedro Ferreira: The Young Person’s Guide to the Theil Index: Suggesting Intuitive Interpretations and Exploring Analytical Applications. (PDF; 1,4 MB). UTIP Working Paper Number 14, Februar 2000.
University of Texas Inequality Project. Tutorials mit Schwerpunkt auf dem Theil Index (englisch).

Einzelnachweise

↑ Paul D. Allison: Measures of Inequality. In: American Sociological Review. Band 63, Nr. 6, Dezember 1978, S. 877.

[1] Paul D. Allison: Measures of Inequality. In: American Sociological Review. Band 63, Nr. 6, Dezember 1978, S. 877.