Thoma-Simplex

Ein Thoma-Simplex ist in der Mathematik ein unendlich-dimensionales Simplex, das man in der Darstellungstheorie unendlicher Gruppen benötigt. Das Simplex ist ein geschlossener Unterraum des abzählbar unendlichen Produktraumes

${\displaystyle [0,1]^{\infty }\times [0,1]^{\infty }}$

und besteht aus Paaren von unendlichen reellen Folgen.

Das Thoma-Simplex ist nach Elmar Thoma benannt, der 1964 die abzählbar unendliche symmetrische Gruppe

${\displaystyle S_{\infty }=\bigcup \limits _{n}S_{n}}$

untersuchte und eine Klassifikation aller Charaktere ${\displaystyle \chi _{p}}$ durch Elemente des Thoma-Simplex fand.

Thoma-Simplex

Ein Thoma-Simplex ist die Menge der Paare ${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$ bestehend aus reellen Folgen ${\displaystyle \alpha$ :=(\alpha _{i}),\beta :=(\beta _{i})} , so dass

${\displaystyle (\alpha _{1}\geq \alpha _{2}\geq \alpha _{3}\geq \cdots \geq 0),\quad (\beta _{1}\geq \beta _{2}\geq \beta _{3}\geq \cdots \geq 0),\quad \sum \limits _{i=1}^{\infty }(\alpha _{i}+\beta _{i})\leq 1}$

gilt. Weiter definiert man ${\displaystyle \gamma$ :=1-\sum \limits _{i=1}^{\infty }(\alpha _{i}+\beta _{i})} .

Einzelnachweise

1. ↑ Elmar Thoma: Die unzerlegbaren, positiv-definiten Klassenfunktionen der abzählbar unendlichen, symmetrischen Gruppe. In: Mathematische Zeitschrift. Band 85, 1964, S. 40–61 (eudml.org). 
2. ↑ Andrei Okounkov: On the representations of the infinite symmetric group. Hrsg.: arXiv. 1998, doi:10.48550/ARXIV.MATH/9803037, arxiv:math/9803037 (PhD-Thesis). 
3. ↑ Sergei Kerov, Grigori Olshanski und Anatoly Vershik: Harmonic analysis on the infinite symmetric group. In: Springer Science and Business Media (Hrsg.): Inventiones mathematicae. Band 158, Nr. 3, 2004, S. 551--642, arxiv:math/0312270. 
4. ↑ G. I. Olshanski: The Topological Support of the z-Measures on the Thoma Simplex. Hrsg.: arXiv. 2018, doi:10.48550/ARXIV.1809.07125, arxiv:1809.07125 [abs].