Torus-Satz

Der Torus-Satz ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Gebiet der Topologie. Er wird für die JSJ-Zerlegung von 3-Mannigfaltigkeiten benötigt und ist deshalb von grundlegender Bedeutung in der 3-dimensionalen Topologie.

Formulierung

Es sei ${\displaystyle M}$ eine orientierbare irreduzible 3-Mannigfaltigkeit, deren Fundamentalgruppe eine Untergruppe isomorph zu ${\displaystyle \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }$ enthält. Dann ist ${\displaystyle M}$ entweder eine Seifert-Faserung oder es gibt einen eingebetteten inkompressiblen Torus ${\displaystyle T^{2}\subset M}$.

Anmerkungen

• Eine zu ${\displaystyle \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }$ isomorphe Untergruppe der Fundamentalgruppe gibt es genau dann, wenn es eine ${\displaystyle \pi _{1}}$-injektive Immersion ${\displaystyle T^{2}\to M}$ gibt. Man kann den Torus-Satz also auch so formulieren: wenn es in ${\displaystyle M}$ einen immersierten inkompressiblen Torus gibt, dann ist ${\displaystyle M}$ entweder eine Seifert-Faserung oder es gibt einen eingebetteten inkompressiblen Torus.
• Seifert-Faserungen haben im Allgemeinen zahlreiche immersierte, aber nicht eingebettete, inkompressible Tori. Diese entstehen wie folgt: sei ${\displaystyle p\colon M\to \Sigma }$ die Projektionsabbildung der Seifert-Faserung und ${\displaystyle \gamma }$ eine in ${\displaystyle \Sigma }$ eingebettete Kurve, die nicht nullhomotop sei. Dann ist ${\displaystyle p^{-1}(\gamma )}$ ein immersierter, inkompressibler Torus, der aber im Allgemeinen, wenn die Faserung singulär ist, nicht eingebettet sein muss.
• Aus dem Torus-Satz folgt durch Kontraposition: eine orientierbare, irreduzible, homotopisch atoroidale 3-Mannigfaltigkeit ist entweder eine Seifert-Faserung oder geometrisch atoroidal. Diese Formulierung ist von Bedeutung für die JSJ-Zerlegung von 3-Mannigfaltigkeiten, sie impliziert, dass die Komponenten dieser Zerlegung entweder Seifert-Faserungen oder geometrisch atoroidal sind.

Geschichte

Der Torus-Satz im speziellen Fall von Haken-Mannigfaltigkeiten wurde 1968 von Waldhausen vermutet und 1976 von Feustel bewiesen. Der allgemeine Fall wurde 1980 von Scott bewiesen. Die ursprünglich von Scott bewiesene Version besagte, dass unter den Voraussetzungen des Torus-Satzes entweder ${\displaystyle M}$ einen eingebetteten inkompressiblen Torus enthält oder ${\displaystyle \pi _{1}M}$ eine nichttriviale normale zyklische Untergruppe. Zusammen mit der in den 90er Jahren bewiesenen Seifert-Faserraum-Vermutung folgt daraus die obige Formulierung.

Einzelnachweise

1. ↑ Friedhelm Waldhausen: On the determination of some bounded 3-manifolds by their fundamental groups alone. In: Proceedings of the International Symposium on Topology and Its Applications Herceg-Novi, 25–31.8.1968 Yugoslavia. = Trudy Meždunarodnogo Simpozija po Topologii i ee Primenenijach Cherceg-Novi, 25–31.8.1968, Jugoslavija. Savez društava matematičara, fizičara i astronoma Jugoslavije, Belgrad 1969, S. 331–332.
2. ↑ Charles D. Feustel: On the torus theorem and its applications. In: Transactions of the American Mathematical Society. Bd. 217, 1976, S. 1–43, doi:10.2307/1997556.
3. ↑ Peter Scott: A new proof of the annulus and torus theorems. In: American Journal of Mathematics. Bd. 102, Nr. 2, 1980, S. 241–277, doi:10.2307/2374238.