Total separierter Raum

Total separierte Räume werden im mathematischen Teilgebiet der Topologie untersucht. In einem unzusammenhängenden topologischen Raum gibt es mindestens eine nicht-leere und vom Gesamtraum verschiedene offen-abgeschlossene Menge, in total separierten Räumen gibt es sehr viele davon.

Definition

Ein topologischer Raum ${\displaystyle X}$ heißt total separiert, falls es zu je zwei verschiedenen Punkten ${\displaystyle x\not =y}$ aus ${\displaystyle X}$ eine offen-abgeschlossene Menge ${\displaystyle U\subset X}$ gibt mit ${\displaystyle x\in U}$ und ${\displaystyle y\notin U}$.

Beachte, dass die Definition symmetrisch bzgl. ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ ist, denn mit ${\displaystyle U}$ ist ja auch ${\displaystyle X\setminus U}$ offen-abgeschlossen.

Beispiele

• Diskrete Räume sind total separiert. Allgemein hat man für Hausdorffräume folgende Beziehungen, die weitere Beispiele liefern:

Diskret  ${\displaystyle \Rightarrow }$  extremal unzusammenhängend  ${\displaystyle \Rightarrow }$  total separiert  ${\displaystyle \Rightarrow }$  total unzusammenhängend.

• Der punktierte Knaster-Kuratowski-Fan ist total unzusammenhängend aber nicht total separiert.
• Nulldimensionale T₀-Räume sind total separiert. Nulldimensionale Räume passen nicht in obige Reihe, da es extremal unzusammenhängende Hausdorffräume gibt, die nicht nulldimensional sind. Dies zeigt gleichzeitig, dass aus der totalen Separiertheit auch im Falle von Hausdorffräumen nicht deren Nulldimensionalität folgt, wie auch das folgende Beispiel zeigt:
• Auf der Menge ${\displaystyle \mathbb {R} {\setminus }\mathbb {Q} }$ der irrationalen Zahlen sei eine Menge ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} {\setminus }\mathbb {Q} }$ offen genau dann, wenn es für alle ${\displaystyle x\in U}$ ein ${\displaystyle \delta >0}$ gibt, so dass aus ${\displaystyle y\in {\sqrt {2}}\cdot \mathbb {Q} }$ und ${\displaystyle |x-y|<\delta }$ folgt, dass ${\displaystyle y\in U}$ gilt. Das definiert eine Topologie auf ${\displaystyle \mathbb {R} {\setminus }\mathbb {Q} }$, die total separiert aber nicht nulldimensional ist.

Eigenschaften

• Unterräume total separierter Räume sind wieder total separiert.
• Produkte total separierter Räume sind wieder total separiert.
• Jeder total separierte Raum ist hausdorffsch, denn die definierende Eigenschaft liefert für je zwei Punkte trennende offene Umgebungen.
• Ein lokalkompakter Hausdorffraum ist genau dann total separiert, wenn er total unzusammenhängend ist.

Einzelnachweise

1. ↑ René Bartsch: Allgemeine Topologie, Walter De Gruyter (2015), ISBN 978-3-11-040617-7, Satz 6.4.4
2. ↑ Lynn Arthur Steen, J. Arthur Seebach: Counterexamples in Topology. Springer-Verlag, 1978, ISBN 3-540-90312-7, Beispiel 113
3. ↑ Peter T. Johnstone: Stone Spaces, Cambridge University Press 1982, ISBN 0-521-33779-8, II.4.2 Exercise (ii)
4. ↑ Michel Coornaert: Topological Dimension and Dynamical Systems, Springer-Verlag 2015, ISBN 978-3-319-19793-7, Satz 2.6.3
5. ↑ René Bartsch: Allgemeine Topologie, Walter De Gruyter (2015), ISBN 978-3-11-040617-7, Korollar 6.4.8