Lie-Klammer

Die Lie-Klammer ist ein Objekt aus der Mathematik, insbesondere aus dem Bereich der Algebra und der Differentialgeometrie. Die Lie-Klammer ist die multiplikative Verknüpfung in einer Lie-Algebra, also eine Art Multiplikation auf einer Menge mit einer besonderen algebraischen Struktur. Beispiele für eine solche Verknüpfung sind die triviale Lie-Klammer, der Matrix-Kommutator, das Kreuzprodukt oder die Poisson-Klammer. Benannt sind die Lie-Klammer und die Lie-Algebra nach dem Mathematiker Sophus Lie.

Definition

Sei $V$ ein Vektorraum über dem Körper $K$ . Eine innere Verknüpfung

[\cdot, \cdot] : V \times V \to V, (x, y) \mapsto [x, y],

heißt Lie-Klammer, falls sie die folgenden drei Eigenschaften besitzt:

Sie ist bilinear, das heißt linear in beiden Argumenten. Es gilt also

[a x + b y, z] = a [x, z] + b [y, z]

und

[z, a x + b y] = a [z, x] + b [z, y]

für alle

a, b \in K

und alle

x, y, z \in V

.

Es gilt $[x, x] = 0$ für alle $x \in V$ .
Sie genügt der Jacobi-Identität, das heißt, es gilt

[x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0

für alle

x, y, z \in V

.

Ein Vektorraum zusammen mit einer Lie-Klammer wird Lie-Algebra genannt.

Eigenschaften

Antisymmetrie

Aus der ersten und der zweiten Eigenschaft der Definition folgt die Antisymmetrie der Lie-Klammer, das heißt $[x, y] = - [y, x]$ für alle $x, y \in V$ . Hat der Körper $K$ nicht die Charakteristik $2$ , so kann man aus der Antisymmetrie alleine wieder die Eigenschaft $[x, x] = 0$ herleiten. Dazu setzt man $y = x$ .

Flexibilität

Lie-Klammern sind im Allgemeinen nicht assoziativ, das heißt, der Term $[[x, y], z]$ muss nicht gleich dem Term $[x, [y, z]]$ sein. Jedoch erfüllt die Lie-Klammer das Flexibilitätsgesetz, es gilt also $[[x, y], x] = [x, [y, x]]$ für alle Elemente $x, y \in V$ .

Beispiele

Triviale Lie-Klammer

Ist $V$ ein beliebiger Vektorraum und sind $a$ und $b$ zwei Elemente des Raums, dann kann durch

[a, b] := 0

immer eine Lie-Klammer definiert werden. Vektorräume mit einer trivialen Lie-Klammer werden auch als abelsche Lie-Algebren bezeichnet.

Matrix-Kommutator

Seien $A$ , $B$ und $C$ drei $n \times n$ -Matrizen mit Einträgen in einem Körper $K$ (zum Beispiel dem Körper $ℝ$ der reellen oder dem Körper $ℂ$ der komplexen Zahlen). Der Kommutator $[\cdot, \cdot]$ für quadratische Matrizen ist definiert durch

[A, B] := A \cdot B - B \cdot A

,

wobei mit $\cdot$ die Matrixmultiplikation bezeichnet wird. Für $λ, μ \in K$ gelten für den Kommutator die Rechenregeln

\begin{matrix} [λ A + μ B, C] & = (λ A + μ B) \cdot C - C \cdot (λ A + μ B) \\ = λ (A \cdot C - C \cdot A) + μ (B \cdot C - C \cdot B) \\ = λ [A, C] + μ [B, C], \end{matrix}

[A, A] = A \cdot A - A \cdot A = 0

und

\begin{matrix} [A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = & [A, B \cdot C - C \cdot B] + [B, C \cdot A - A \cdot C] + [C, A \cdot B - B \cdot A] \\ = & A \cdot (B \cdot C - C \cdot B) - (B \cdot C - C \cdot B) \cdot A + B \cdot (C \cdot A - A \cdot C) \\ - (C \cdot A - A \cdot C) \cdot B + C \cdot (A \cdot B - B \cdot A) - (A \cdot B - B \cdot A) \cdot C \\ = & 0 . \end{matrix}

Daher ist der Kommutator auf dem Raum der $n \times n$ -Matrizen eine Lie-Klammer.

Als konkretes Beispiel werden nun noch die Pauli-Matrizen

σ_{1} = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}), σ_{2} = (\begin{matrix} 0 & - i \\ i & 0 \end{matrix}), σ_{3} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix})

über dem Körper $ℂ$ der komplexen Zahlen betrachtet. Bildet man den Kommutator von $σ_{1}$ und $σ_{3}$ , so gilt

\begin{matrix} [σ_{1}, σ_{3}] & = σ_{1} \cdot σ_{3} - σ_{3} \cdot σ_{1} \\ = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) \\ = (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix}) \\ = - 2 i (\begin{matrix} 0 & - i \\ i & 0 \end{matrix}) \\ = - 2 i σ_{2} . \end{matrix}

Kreuzprodukt

Für $a, b \in ℝ^{3}$ ist das Kreuzprodukt

a \times b = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) \times (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}) := (\begin{matrix} a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2} \\ a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3} \\ a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} \end{matrix})

eine Lie-Klammer. Im Vergleich zu den Beispielen zuvor wird diese Multiplikation normalerweise nicht mit Klammern notiert. Die Bilinearität und die Identität $a \times a = 0$ können direkt an der Definition abgelesen werden. Um die Jacobi-Identität zu erkennen, muss der Term

a \times (b \times c) + b \times (c \times a) + c \times (a \times b)

komponentenweise ausgerechnet werden.

Lie-Klammer von Vektorfeldern

Seien $X$ und $Y$ zwei Vektorfelder auf der $n$ -dimensionalen glatten Mannigfaltigkeit $M$ . Die Lie-Ableitung ist dann definiert durch

(ℒ_{X} Y) f = X (Y (f)) - Y (X (f))

.

Dieser Operator $(X, Y) \mapsto ℒ_{X} Y$ erfüllt die definierenden Eigenschaften einer Lie-Klammer. Daher schreibt man auch $[X, Y] := ℒ_{X} Y$ .

Jacobi-Klammer

Seien $A$ ein kommutativer Ring, $B$ eine kommutative Algebra über $A$ und $δ_{1}, δ_{2} \in Der (B)$ zwei Derivationen von $B$ . Dann ist die durch

[δ_{1}, δ_{2}] := δ_{1} δ_{2} - δ_{2} δ_{1}

definierte Operation eine Lie-Klammer auf dem Raum der Derivationen. Sie wird Jacobi-Klammer genannt. Da die Vektorfelder aus dem vorigen Beispiel spezielle Derivationen sind und ihre Lie-Klammer entsprechend definiert ist, ist Lie-Klammer von Vektorfeldern ein konkretes Beispiel für eine Jacobi-Klammer.

Poisson-Klammer

Die Poisson-Klammer ${\cdot, \cdot}$ ist eine zweistellige Operation, die auf der Algebra der glatten Funktionen operiert. Sie erfüllt die definierenden Eigenschaften einer Lie-Klammer und darüber hinaus noch die Produktregel

{f g, h} = f {g, h} + {f, h} g

für alle glatten Funktionen $f$ , $g$ und $h$ . Oftmals werden Poisson-Klammern auf Funktionen angewandt, die von einer glatten Mannigfaltigkeit in die reellen Zahlen abbilden. Solche Mannigfaltigkeiten mit festgelegter Poisson-Klammer werden Poisson-Mannigfaltigkeiten genannt. Beispielsweise kann jede symplektische Mannigfaltigkeit auf natürliche Weise mit einer Poisson-Klammer versehen werden. In lokalen Koordinaten $(q_{1}, \dots, q_{n}, p_{1}, \dots, p_{n})$ hat die Poisson-Klammer die Darstellung

{f, g} = \sum_{i = 1}^{n} (\frac{\partial f}{\partial q_{i}} \frac{\partial g}{\partial p_{i}} - \frac{\partial f}{\partial p_{i}} \frac{\partial g}{\partial q_{i}})

.

Einzelnachweise

1 2 James E. Humphreys: Introduction to Lie algebras and representation theory. Springer, New York 1997, ISBN 3-540-90053-5, S. 4.
↑ R. Abraham, Jerrold E. Marsden, T. Ratiu: Manifolds, tensor analysis, and applications (= Applied mathematical sciences 75). 2. Auflage. Springer, New York NY u. a. 1988, ISBN 0-387-96790-7, S. 278–279.
↑ Günter Scheja, Uwe Storch: Lehrbuch der Algebra [Elektronische Ressource]. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden 1988, ISBN 978-3-322-80092-3, S. 105–106.

[Humphreys4-1] 1 2 James E. Humphreys: Introduction to Lie algebras and representation theory. Springer, New York 1997, ISBN 3-540-90053-5, S. 4.

[2] R. Abraham, Jerrold E. Marsden, T. Ratiu: Manifolds, tensor analysis, and applications (= Applied mathematical sciences 75). 2. Auflage. Springer, New York NY u. a. 1988, ISBN 0-387-96790-7, S. 278–279.

[3] Günter Scheja, Uwe Storch: Lehrbuch der Algebra [Elektronische Ressource]. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden 1988, ISBN 978-3-322-80092-3, S. 105–106.