Tschebyschow-Polynom

Tschebyschow-Polynome erster Art $T_{n}(x)$ und zweiter Art $U_{n}(x)$ sind Folgen orthogonaler Polynome, die bedeutende Anwendungen in der Polynominterpolation, in der Filtertechnik und in anderen Gebieten der Mathematik haben. Sie sind benannt nach Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow, dessen Name in der Literatur auch als Tschebyscheff, Tschebycheff, Tschebyschew, Tschebyschev, Chebyshev oder Chebychev transkribiert wird.

Tschebyschow-Polynome erster Art sind Lösung der Tschebyschow-Differentialgleichung

\left(1-x^{2}\right)\,y''-x\,y'+n^{2}\,y=0,

und Tschebyschow-Polynome zweiter Art sind Lösung von

\left(1-x^{2}\right)\,y''-3x\,y'+n(n+2)\,y=0.

Beide Differentialgleichungen sind spezielle Fälle der Sturm-Liouvilleschen Differentialgleichung.

Tschebyschow-Polynome erster Art

Definition

Die Funktionen

{\begin{aligned}y_{g}(x)&=1+\sum _{p=1}^{\infty }{\frac {\prod _{k=0}^{p-1}\left(\left(2k\right)^{2}-n^{2}\right)}{(2p)!}}x^{2p}=1+\sum _{p=1}^{\infty }(-1)^{p}{\frac {\prod _{k=0}^{p-1}\left(n^{2}-\left(2k\right)^{2}\right)}{(2p)!}}x^{2p}\\&=1-{n^{2} \over 2!}\,x^{2}+{n^{2}\,\left(n^{2}-4\right) \over 4!}\,x^{4}-{n^{2}\,(n^{2}-4)\,\left(n^{2}-16\right) \over 6!}\,x^{6}\pm \cdots \end{aligned}}

und

{\begin{aligned}y_{u}(x)&=x+\sum _{p=1}^{\infty }{\frac {\prod _{k=0}^{p-1}\left(\left(2k+1\right)^{2}-n^{2}\right)}{(2p+1)!}}x^{2p+1}=x+\sum _{p=1}^{\infty }(-1)^{p}{\frac {\prod _{k=0}^{p-1}\left(n^{2}-\left(2k+1\right)^{2}\right)}{\left(2p+1\right)!}}x^{2p+1}\\&=x-{n^{2}-1 \over 3!}\,x^{3}+{\left(n^{2}-1\right)\,\left(n^{2}-9\right) \over 5!}\,x^{5}\mp \cdots \end{aligned}}

bilden ein Fundamentalsystem für die Tschebyschow-Differentialgleichung.

Für ganzzahlige $n$ bricht jeweils eine dieser Reihen nach endlich vielen Gliedern ab, $y_{g}(x)$ für gerade und $y_{u}(x)$ für ungerade $n$ , und man erhält Polynome als Lösung. Mit der Normierung $T_{n}(1)=1$ werden diese als Tschebyschow-Polynome $T_{n}(x)$ bezeichnet. Die ersten neun Polynome dieser Art sind:

{\begin{aligned}T_{0}(x)&=1\\T_{1}(x)&=x\\T_{2}(x)&=2x^{2}-1\\T_{3}(x)&=4x^{3}-3x\\T_{4}(x)&=8x^{4}-8x^{2}+1\\T_{5}(x)&=16x^{5}-20x^{3}+5x\\T_{6}(x)&=32x^{6}-48x^{4}+18x^{2}-1\\T_{7}(x)&=64x^{7}-112x^{5}+56x^{3}-7x\\T_{8}(x)&=128x^{8}-256x^{6}+160x^{4}-32x^{2}+1\\\end{aligned}}

Eigenschaften

Rekursionsformeln der Tschebyschow-Polynome:

T_{n+1}(x)=2x~T_{n}(x)-T_{n-1}(x)

und

T_{mn}(x)=T_{m}{\bigl (}T_{n}(x){\bigr )}.

Ist $T_{n}(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{n,i}x^{i}=a_{n,n}x^{n}+\cdots +a_{n,1}x+a_{n,0}$ die Darstellung des Tschebyschow-Polynoms, dann gilt für die Koeffizienten:

a_{n,i}=2a_{n-1,i-1}(x)-a_{n-2,i}

Für alle geraden $n$ ist $a_{n,i}=0$ für alle ungeraden Indexe $i$ und für alle ungeraden $n$ ist $a_{n,i}=0$ für alle geraden Indexe $i$ .

Mit Hilfe der trigonometrischen Funktionen bzw. der Hyperbelfunktionen sind die Tschebyschow-Polynome darstellbar als

T_{n}(x)={\begin{cases}\cos \left(n\,\arccos x\right)&{\text{für}}\quad x\in [-1,1]\\\cosh \left(n\,\operatorname {arcosh} (x)\right)&{\text{für}}\quad x>1\\(-1)^{n}\cosh \left(n\,\operatorname {arcosh} (-x)\right)&{\text{für}}\quad x<-1\end{cases}}

oder

T_{n}(\cos \theta )=\cos(n\theta )

und auch

T_{n}(x)={\frac {{\bigl (}x+{\sqrt {x^{2}-1}}{\bigr )}^{n}+{\bigl (}x-{\sqrt {x^{2}-1}}{\bigr )}^{n}}{2}}

.

Die letzte Formel gilt auch im Fall $\left|x\right|<1$ , wenn man komplexe Wurzeln zulässt, bzw.

T_{n}(x)={\frac {{\bigl (}x+\mathrm {i} {\sqrt {1-x^{2}}}{\bigr )}^{n}+{\bigl (}x-\mathrm {i} {\sqrt {1-x^{2}}}{\bigr )}^{n}}{2}}

für $x\in \mathbb {R} ,\left|x\right|<1$ betrachtet, wobei $\mathrm {i}$ die imaginäre Einheit ist.

Die $n$ Nullstellen des Tschebyschow-Polynoms $T_{n}(x)$ sind gegeben durch

\cos \left({\tfrac {2j+1}{2n}}\,\pi \right)\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r} \quad j=0,\ldots ,n-1.

Daraus ergibt sich die faktorisierte Darstellung der Tschebyschow-Polynome

T_{n}(x)=2^{n-1}\left(x-\cos \left({\frac {1}{2n}}\pi \right)\right)\left(x-\cos \left({\frac {3}{2n}}\pi \right)\right)\ldots \left(x-\cos \left({\frac {2n-1}{2n}}\pi \right)\right).

Die $n-1$ relativen Extrema von $T_{n}(x)$ liegen bei

\cos \left({\tfrac {j}{n}}\,\pi \right)\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r} \quad j=1,\ldots ,n-1

und haben abwechselnd die Werte 1 und −1.

Tschebyschow-Polynome $T_{n}(x)$ sind im geschlossenen Intervall $[-1,1]$ orthogonal bezüglich des gewichteten Skalarproduktes

\langle f,g\rangle =\int _{-1}^{1}f(x)\cdot g(x)\cdot {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x

Man kann sich diese daher auch über das Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren (mit Normierung) herleiten.

Anwendungen

In der Filtertechnik werden die Tschebyschow-Polynome bei den Tschebyscheff-Filtern verwendet. Bei der Polynominterpolation zeichnen sich diese Polynome durch einen sehr günstigen, gleichmäßigen Fehlerverlauf aus. Dazu sind als Interpolationsstellen die geeignet verschobenen Nullstellen des Tschebyschow-Polynoms passenden Grades zu verwenden. Wegen ihrer Minimalität bilden sie auch die Grundlage für die Tschebyschow-Iteration und für Fehlerschranken bei Krylow-Unterraum-Verfahren für Lineare Gleichungssysteme.

Tschebyschow-Polynome zweiter Art

Auch die Tschebyschow-Polynome zweiter Art $U_{n}(x)$ werden über eine rekursive Bildungsvorschrift definiert:

{\begin{aligned}U_{0}(x)&=1\\U_{1}(x)&=2x\\U_{n+1}(x)&=2xU_{n}(x)-U_{n-1}(x),\end{aligned}}

bemerkenswerterweise mit derselben Rekursionsbeziehung wie die $T_{n}$ . Und diese Rekursionsbeziehung gilt mit

U_{-1}(x)=0

auch für $n=0$ .

Es gilt

{\begin{aligned}U_{n}(x)&=\sum _{p=0}^{\frac {n}{2}}(-1)^{\frac {n}{2}}{\frac {\prod _{k=0}^{2p-1}\left(n-2k+2p\right)}{(2p)!}}x^{2p}\\&=\pm 1\mp {n\left(n+2\right) \over 2!}\,x^{2}\pm {\left(n-2\right)n\left(n+2\right)\left(n+4\right) \over 4!}\,x^{4}\mp {\left(n-4\right)\left(n-2\right)n\left(n+2\right)\left(n+4\right)\left(n+6\right) \over 6!}\,x^{6}\pm \cdots \end{aligned}}

für gerade $n$ und

{\begin{aligned}U_{n}(x)&=\sum _{p=0}^{\frac {n+1}{2}}(-1)^{\frac {n-1}{2}}{\frac {\prod _{k=0}^{2p-1}\left(n-2k+2p+1\right)}{(2p+1)!}}x^{2p+1}\\&=\pm {n+1 \over 1!}\,x\mp {\left(n+1\right)\left(n+3\right) \over 3!}\,x^{3}\pm {\left(n+1\right)\left(n+3\right)\left(n+5\right) \over 5!}\,x^{5}\mp \cdots \end{aligned}}

für ungerade $n$ .

Ist $U_{n}(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{n,i}x^{i}=a_{n,n}x^{n}+\cdots +a_{n,1}x+a_{n,0}$ die Darstellung des Tschebyschow-Polynoms, dann gilt für die Koeffizienten:

a_{n,i}=2a_{n-1,i-1}(x)-a_{n-2,i}

Für alle geraden $n$ ist $a_{n,i}=0$ für alle ungeraden Indexe $i$ und für alle ungeraden $n$ ist $a_{n,i}=0$ für alle geraden Indexe $i$ .

Die erzeugende Funktion für $U_{n}$ ist:

\sum _{n=0}^{\infty }U_{n}(x)t^{n}={\frac {1}{1-2tx+t^{2}}}

Die ersten acht Polynome dieser Art sind:

{\begin{aligned}U_{0}(x)&=1\\U_{1}(x)&=2x\\U_{2}(x)&=4x^{2}-1\\U_{3}(x)&=8x^{3}-4x\\U_{4}(x)&=16x^{4}-12x^{2}+1\\U_{5}(x)&=32x^{5}-32x^{3}+6x\\U_{6}(x)&=64x^{6}-80x^{4}+24x^{2}-1\\U_{7}(x)&=128x^{7}-192x^{5}+80x^{3}-8x\end{aligned}}

Mit Hilfe der trigonometrischen Funktionen sind die Tschebyschow-Polynome zweiter Art zunächst nur für $\theta \in \mathbb {R} \setminus \pi \mathbb {Z}$ darstellbar als

U_{n}(\cos \theta )={\frac {\sin {\big (}(n+1)\theta {\big )}}{\sin \theta }},

wegen der stetigen Hebbarkeit an diesen Stellen aber für alle $\theta \in \mathbb {R}$ . Diese Formel hat große strukturelle Ähnlichkeit zum Dirichlet-Kern $D_{n}(x)$ :

D_{n}(x)={\frac {\sin \left((2n+1){\dfrac {x}{2}}\right)}{\sin {\dfrac {x}{2}}}}=U_{2n}\left(\cos {\frac {x}{2}}\right).

Nimmt man Hyperbelfunktionen mit hinzu, dann ist für $x\in \mathbb {R} \setminus \{-1,1\}$

U_{n}(x)={\begin{cases}\sin \left((n+1)\,\arccos x\right)/{\sqrt {1-x^{2}}}&{\text{für}}\quad |x|<1\\\sinh \left((n+1)\,\operatorname {arcosh} \,x\right)/{\sqrt {x^{2}-1}}&{\text{für}}\quad |x|>1\end{cases}}

Tschebyschow-Polynome $U_{n}(x)$ sind im abgeschlossenen Intervall $[-1,1]$ orthogonal bezüglich des gewichteten Skalarproduktes

\langle f,g\rangle =\int _{-1}^{1}f(x)\cdot g(x)\cdot {\sqrt {1-x^{2}}}\,\mathrm {d} x

Historie

Erstmals veröffentlichte Tschebyschow seine Untersuchungen zu den Tschebyschow-Polynomen 1859 und 1881 in folgenden Aufsätzen:

Sur les questions de minima qui se rattachent a la représentation approximative des fonctions. Oeuvres Band I, 1859, S. 273–378.
Sur les fonctions qui s'écartent peu de zéro pour certaines valeurs de la variable. Oeuvres Band II, 1881, S. 335–356.

Clenshaw-Algorithmus

In der numerischen Mathematik werden Linearkombinationen von Tschebyschow-Polynomen mit dem Clenshaw-Algorithmus ausgewertet.

Literatur

Il'ja N, Bronstein, Konstantin A. Semendjajew, Gerhard Musiol, Heiner Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. 5., überarbeitete und erweiterte Auflage, unveränderter Nachdruck. Verlag Harri Deutsch, Thun u. a. 2001, ISBN 3-8171-2005-2.

Weblinks

Eric W. Weisstein: Chebyshev Polynomial of the First Kind. In: MathWorld (englisch).
Eric W. Weisstein: Chebyshev Polynomial of the Second Kind. In: MathWorld (englisch).

Einzelnachweise

[1] Leçons sur l'approximation des fonctions d'une variable réelle. Gauthier-Villars, Paris 1919, 1952, S. 64.

[Cheney-2] Elliot Ward Cheney: Introduction to Approximation Theory. McGraw-Hill Book Company, 1966, ISBN 0-07-010757-2, S. 225.