Twistor-Faserung

Die Twistor-Faserung (auch Calabi-Penrose-Faserung) ist in der Twistor-Theorie, einem Ansatz der Quantengravitation zur Kombination der Quantenfeldtheorie und Gravitation, ein spezielles Faserbündel mit der Riemannschen Zahlenkugel $ℂ P^{1}$ als Faser, dem auch als Twistor-Raum bezeichneten dritten komplexen projektiven Raum $ℂ P^{3}$ als Totalraum und der vierdimensionalen Sphäre $S^{4}$ als Basisraum:

S^{2} \to ℂ P^{3} \to S^{4} .

Da $S^{2}$ keine topologische Gruppe ist (und insbesondere keine Lie-Gruppe), ist die Twistor-Faserung kein Hauptfaserbündel.

Definition

Es gibt verschiedene Möglichkeiten zur Konstruktion der Twistor-Faserung:

Explizit durch die Definition des komplexen und quaternionischen projektiven Raumes gibt es kanonische Abbildungen:
$ψ : ℂ^{2 n} \to ℍ^{n}, (x, y) \mapsto x + j y;$

$[ψ] : ℂ P^{2 n - 1} \to ℍ P^{n - 1}, [z] \mapsto [ψ (z)] .$

Für

n = 2

ergibt sich die Twistor-Faserung.

Indirekt durch die Darstellungen als homogene Räume gibt es eine kanonische Projektion:
$ℂ P^{3} ≅ SO (5) / U (2) \to SO (5) / SO (4) ≅ S^{4}$

Allgemeiner wird die kanonische Projektionen

SO (2 n + 1) / U (n) \to SO (2 n + 1) / SO (2 n) ≅ S^{2 n}

als Twistor-Faserung von

S^{2 n}

bezeichnet.

Eigenschaften

Die Komposition der kanonischen Projektion $S^{7} ↠ ℂ P^{3}$ , ein U(1)-Hauptfaserbündel, mit der Twistor-Faserung $ℂ P^{3} ↠ S^{4}$ ergibt genau die quaternionische Hopf-Faserung $S^{7} ↠ S^{4}$ , ein SU(2)-Hauptfaserbündel. Da $SU (2) ≅ S^{3}$ und $U (1) ≅ S^{1}$ ergibt sich die Faser der Twistor-Faserung mit der komplexen Hopf-Faserung als $S^{2} ≅ S^{3} / S^{1}$ .

Durch Anklebung von 8-Zellen mit $ℂ P^{4} ≅ ℂ P^{3} \cup_{π} e^{8}$ entlang der kanonischen Projektion $π : S^{7} ↠ ℂ P^{3}$ und $ℍ P^{2} ≅ S^{4} \cup_{h} e^{8}$ entlang der quaternionischen Hopf-Faserung $h : S^{7} ↠ S^{4}$ lässt sich die Twistor-Faserung zu einer stetigen Abbildung $ℂ P^{4} ↠ ℍ P^{2}$ erweitern.

Literatur

Bonaventure Loo, Alberto Verjovsky: On quotients of Hopf fibrations. In: An International Journal of Mathematics. Nr. 26, 1994, S. 103–108 (englisch, units.it).

Weblinks

twistor fibration auf nLab (englisch)

Einzelnachweise

↑ Loo & Verjovsky, S. 106
↑ Loo & Verjovsky, S. 107

[1] Loo & Verjovsky, S. 106

[2] Loo & Verjovsky, S. 107