U-Statistik

Eine U-Statistik ist ein erwartungstreuer Schätzer im Bereich der asymptotischen Statistik. Sie wurde 1948 von Wassily Hoeffding erstmals definiert, wobei das „U“ für die Unverzerrtheit des Schätzers steht.

Definition

Sei $(Ω, ℱ, ℙ)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und ${(X_{n})}_{n \in ℕ}$ eine Folge (stochastisch) unabhängiger und identisch verteilter $d$ -dimensionaler Zufallsvektoren mit Verteilungsfunktion $F : ℝ^{d} \to [0, 1]$ . Weiter seien $k, m \in ℕ$ mit $k \leq m$ und $ψ : (ℝ^{d})^{k} \to ℝ$ eine messbare und symmetrische Funktion, wofür das zweite Moment existiert. Dann heißt U-Statistik der Ordnung k mit Kern $ψ$ die Zufallsvariable

U_{m} := U_{m} (X_{1}, \dots, X_{m}) := \frac{1}{(\binom{m}{k})} \sum_{1 \leq i_{1} < \dots < i_{k} \leq m} ψ (X_{i_{1}}, \dots, X_{i_{k}})

Bemerkungen

Es handelt sich bei der U-Statistik um einen Sonderfall der V-Statistik, die 1947 durch Richard von Mises eingeführt wurden. Diese beschreiben die asymptotische Verteilung der sogenannten von-Mises-Funktionalen und werden zur Verwirrung der Allgemeinheit ebenfalls so genannt.

Verallgemeinerung

Eine Verallgemeinerung der U-Statistik wurde 1951 durch Lehmann formuliert.

Beispiele

Für die ersten niedrigen Werte für $k$ folgen bei bestimmter Wahl von $ψ$ der zentraler Grenzwertsatz von Lindeberg-Lévy, die Stichprobenvarianz, Ginis mittlere absolute Differenz, die Stichprobenkovarianz, Wilcoxons Ein-Stichproben-Statistik oder auch Kendalls Tau.

Literatur

Norbert Henze: Asymptotische Stochastik: Eine Einführung mit Blick auf die Statistik. Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg 2022, ISBN 978-3-662-65610-5, doi:10.1007/978-3-662-65611-2 (springer.com [abgerufen am 5. Mai 2024]).
Rabi Bhattacharya, Manfred Denker: Asymptotic Statistics. Birkhäuser Basel, Basel 1990, ISBN 978-3-0348-9964-2, doi:10.1007/978-3-0348-9254-4 (englisch, springer.com [abgerufen am 5. Mai 2024]).
A. J. Lee: U-Statistics: Theory and Practice. Marcel Dekker, Inc. New York, Basel, Basel 1990, ISBN 978-0-8247-8253-5 (englisch).

Einzelnachweise

↑ Wassily Hoeffding: A Class of Statistics with Asymptotically Normal Distribution. In: The Annals of Mathematical Statistics. Band 19, Nr. 3, September 1948, ISSN 0003-4851, S. 293–325, doi:10.1214/aoms/1177730196 (projecteuclid.org [abgerufen am 5. Mai 2024]).
↑ Manfred Denker: Schwache Invarianzprinzipien für reguläre Funktionale von Verteilungsfunktionen. In: Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (DMV). Band 84, Nr. 4. B.G. Teubner, 1982, ISSN 0012-0456, zbMath 0507.62013, S. 163–195 (DMV oder Uni Bielefeld [abgerufen am 5. Mai 2024]).

[1] Wassily Hoeffding: A Class of Statistics with Asymptotically Normal Distribution. In: The Annals of Mathematical Statistics. Band 19, Nr. 3, September 1948, ISSN 0003-4851, S. 293–325, doi:10.1214/aoms/1177730196 (projecteuclid.org [abgerufen am 5. Mai 2024]).

[2] Manfred Denker: Schwache Invarianzprinzipien für reguläre Funktionale von Verteilungsfunktionen. In: Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (DMV). Band 84, Nr. 4. B.G. Teubner, 1982, ISSN 0012-0456, zbMath 0507.62013, S. 163–195 (DMV oder Uni Bielefeld [abgerufen am 5. Mai 2024]).