UMD-Raum

Ein UMD-Raum (von englisch unconditional martingale difference space) ist in der Funktionalanalysis und der stochastischen Analysis ein Banach-Raum, in dem alle Martingal-Differenzenfolgen eines beliebigen endlichen Martingals unbedingt konvergente Reihen sind. Solche Räume besitzen viele der guten Eigenschaften eines Hilbert-Raumes und Martingal-Differenzfolgen teilen Eigenschaften von orthogonalen Folgen. Man sagt, dass Banach-Räume die UMD-Eigenschaft besitzen, wenn sie UMD-Räume sind.

Der Begriff wurde von den französischen Mathematiker Bernard Maurey und Gilles Pisier eingeführt. Motivation war es, eine genügend große Klasse von Banach-Räumen zu finden, so dass auch klassische Banach-Räume wie die L^p-Räume für $1<p<\infty$ enthalten sind, die Räume sich aber trotzdem wie Hilbert-Räume verhalten, deshalb lassen sich viele der Aussagen für Hilbert-Räume direkt auf UMD-Räume übertragen. Obwohl der UMD-Raum eine probabilistische Definition hat, stellt sich heraus, dass die UMD-Eigenschaft zu einigen analytischen Eigenschaften äquivalent ist, wie zum Beispiel, dass die Hilbert-Transformation auf $L^{p}$ beschränkt ist.

Um den Begriff des UMD-Raumes zu definieren, führt man zuerst den UMD $_{p}$ -Raum für ein $p\in (1,\infty )$ ein. Ein tiefes Resultat von Maurey und Pisier sagt dann, dass ein Banach-Raum, der ein UMD $_{p}$ -Raum für ein bestimmtes $p$ ist, auch ein UMD $_{q}$ -Raum für alle anderen $q\in (1,\infty )$ ist. Deshalb spricht man häufig nur von UMD-Räumen.

Mit Hilfe von UMD-Räumen lässt sich die Itô-Isometrie auf Banach-Räume erweitern und folglich ergibt sich eine Theorie der stochastischen Integration bezüglich einer brownschen Bewegung für Banach-wertige Zufallsvariablen.

UMD-Raum

Sei $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum mit Filtration $\mathbb {F}$ und $(E,\|\cdot \|_{E})$ ein Banach-Raum. Mit $X\in L^{p}(\Omega ,E)$ meinen wir $\mathbb {E} [\|X\|_{E}^{p}]<\infty$ .

Grundbegriffe

Eine Reihe $\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}$ heißt unbedingt konvergent falls für jede Folge $\left(\varepsilon _{n}\right)_{n=1}^{\infty }$ mit $\varepsilon _{n}\in \{-1,+1\},$ die Reihe

\sum _{n=1}^{\infty }\varepsilon _{n}x_{n}

konvergiert.

Sei $(M_{n})_{n\in N}$ ein $E$ -wertiges $\mathbb {F}$ -adaptiertes Martingal. $(M_{n})_{n\in N}$ ist ein $L^{p}$ -Martingal, falls $M_{n}\in L^{p}(\Omega ,E)$ für alle $n$ , das bedeutet

\max \limits _{n\in \mathbb {N} }\mathbb {E} \left[\|M_{n}\|_{E}^{p}\right]<\infty

.

Für ein Martingal $(M_{n})_{n\in N}$ ist die Martingal-Differenzfolge $(dM_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ definiert als

dM_{n}:=M_{n}-{M_{n-1}}

mit

M_{0}=0

. Ist

(M_{n})_{n\in \mathbb {N} }

ein

L^{p}

-Martingal, dann nennt man

(dM_{n})_{n\in N}

eine $L^{p}$ -Martingal-Differenzfolge.

Definition

Sei $(\varepsilon _{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge mit $\varepsilon _{n}\in \{-1,1\}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ .

Ein Banach-Raum $E$ ist ein UMD_p-Raum, falls für ein $p\in (1,\infty )$ eine Konstante $\beta$ existiert, so dass für alle $E$ -wertigen $L^{p}$ -Martingale-Differenzfolgen $(dM_{n})_{n=1}^{N}$ mit $N\in \mathbb {N}$ und alle $(\varepsilon _{n})_{n\in \mathbb {N} }$ die folgende Ungleichung gilt

\mathbb {E} \left[{\bigg \|}\sum \limits _{n=1}^{N}\varepsilon _{n}dM_{n}{\bigg \|}_{E}^{p}\right]\leq \beta ^{p}\mathbb {E} \left[{\bigg \|}\sum \limits _{n=1}^{N}dM_{n}{\bigg \|}_{E}^{p}\right].

Erläuterungen

Die in der Gleichung benützte Norm ist die Norm von $E$ . Analog lässt sich die Gleichung auch mittels der $L^{p}$ -Norm $\|X\|_{L^{p}(\Omega ,E)}=\mathbb {E} [\|X\|_{E}^{p}]^{1/p}$ schreiben.
Die $(dM_{n})$ bilden eine unbedingt konvergente Basis in $L^{p}$ .
Ersetzt man $dM_{n}$ mit $\varepsilon _{n}dM_{n}$ erhält man die Umgekehrte-Gleichung

\mathbb {E} \left[{\bigg \|}\sum \limits _{n=1}^{N}dM_{n}{\bigg \|}_{E}^{p}\right]\leq \beta ^{p}\mathbb {E} \left[{\bigg \|}\sum \limits _{n=1}^{N}\varepsilon _{n}dM_{n}{\bigg \|}_{E}^{p}\right].

Der Wahrscheinlichkeitsraum lässt sich durch einen beliebigen σ-endlichen Raum ersetzen.

p-Unabhängigkeit

Falls $X$ ein UMD $_{p}$ -Raum für ein $p\in (1,\infty )$ ist, dann ist $X$ auch ein UMD $_{q}$ -Raum für alle $q\in (1,\infty )$ .

Eigenschaften

Alle UMD-Räume sind reflexiv. Sie sind sogar super-reflexiv.
Alle UMD-Räume sind K-konvex.

Beziehung zu singulären Integraloperatoren

Eine rein analytische Charakterisierung der UMD-Räume über die Hilbert-Transformation stammt von Burkholder () und Bourgain (). Es sei $E$ ein beliebiger UMD-Raum und $\mathbb {T}$ der Torus. Dann bewiesen sie, dass die UMD $_{p}$ -Räume gerade diejenigen Räume sind, auf denen

die Hilbert-Transformation auf $L^{p}(\mathbb {R} ,E)$ beschränkt ist,
die Riesz-Projektion auf $L^{p}(\mathbb {T} ,E)$ beschränkt ist,

und somit sind sie auch für alle $p\in (1,\infty )$ beschränkt.

Existenz einer symmetrischen, bikonvexen Funktion

Folgendes ist äquivalent:

$X$ ist ein UMD-Raum
Es existiert eine symmetrische, bikonvexe Funktion $\zeta$ auf $X\times X$ , so dass $\zeta (0,0)>0$ und $\zeta (x,y)\leqq \|x+y\|_{E}$ falls $\|x\|_{E}\leq 1\leq \|y\|_{E}$

Beispiele

Folgende Räume sind u. a. UMD-Räume:

alle endlich-dimensionalen Räume
alle Hilbert-Räume
die $L^{p}$ -Räume für $1<p<\infty$
die Sobolew-Räume für $1<p<\infty$
die Schatten-Klassen für $1<p<\infty$
reflexive Besov-Räume
reflexive Birnbaum-Orlicz-Räume

Räume ohne UMD-Eigenschaft

Alle nicht-reflexiven Räume ( $L^{1}(S)$ , $C(S)$ usw. für ein σ-endlicher Raum $(S,\Sigma ,\mu )$ )

Literatur

Tuomas Hytönen, Jan van Neerven, Mark Veraar und Lutz Weis: Analysis in Banach Spaces : Volume I: Martingales and Littlewood-Paley Theory. Hrsg.: Springer International Publishing. Cham 2016, ISBN 978-3-319-48520-1, S. 267–372, doi:10.1007/978-3-319-48520-1_4.
Gilles Pisier: Martingales in Banach Spaces. In: Cambridge University Press (Hrsg.): Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 2016, S. 151–217, doi:10.1017/CBO9781316480588.

Einzelnachweise

1 2 Tuomas Hytönen, Jan van Neerven, Mark Veraar und Lutz Weis: Analysis in Banach Spaces : Volume I: Martingales and Littlewood-Paley Theory. Hrsg.: Springer International Publishing. Cham 2016, ISBN 978-3-319-48520-1, S. 267–372, doi:10.1007/978-3-319-48520-1_4.
↑ J. M. A. M. van Neerven, M. C. Veraar und L. Weis: Stochastic integration in UMD Banach spaces. In: Institute of Mathematical Statistics (Hrsg.): The Annals of Probability. Band 35, Nr. 4, 2007, S. 1438 - 1478, doi:10.1214/009117906000001006.
↑ Zdzislaw Brzezniak, Jan van Neerven, Mark Veraar und Lutz Weis: Itô's formula in UMD Banach spaces and regularity of solution of the Zaka equation. In: Journal of Differential Equations. Band 245, Nr. 1, 2008, S. 30–58, doi:10.1016/j.jde.2008.03.026.
↑ Burkholder, D.L.: A geometric condition that implies the existence of certain singular integrals of Banach-space-valued functions. In: Conference on Harmonic Analysis in Honor of Antoni Zygmund, vol. I, II (Chicago, Ill., 1981), pp. 270–286, Wadsworth Math. Ser., Wadsworth (1983)
1 2 J. Bourgain: Some remarks on Banach spaces in which martingale difference sequences are unconditional. In: Ark. Mat. Band 21, Nr. 1–2, 198, S. 163 - 168, doi:10.1007/BF02384306.
↑ Tuomas Hytönen, Jan van Neerven, Mark Veraar und Lutz Weis: Analysis in Banach Spaces : Volume I: Martingales and Littlewood-Paley Theory. Hrsg.: Springer International Publishing. Cham 2016, ISBN 978-3-319-48520-1, S. 356, doi:10.1007/978-3-319-48520-1_4.

[HNVW-1] 1 2 Tuomas Hytönen, Jan van Neerven, Mark Veraar und Lutz Weis: Analysis in Banach Spaces : Volume I: Martingales and Littlewood-Paley Theory. Hrsg.: Springer International Publishing. Cham 2016, ISBN 978-3-319-48520-1, S. 267–372, doi:10.1007/978-3-319-48520-1_4.

[2] J. M. A. M. van Neerven, M. C. Veraar und L. Weis: Stochastic integration in UMD Banach spaces. In: Institute of Mathematical Statistics (Hrsg.): The Annals of Probability. Band 35, Nr. 4, 2007, S. 1438 - 1478, doi:10.1214/009117906000001006.

[3] Zdzislaw Brzezniak, Jan van Neerven, Mark Veraar und Lutz Weis: Itô's formula in UMD Banach spaces and regularity of solution of the Zaka equation. In: Journal of Differential Equations. Band 245, Nr. 1, 2008, S. 30–58, doi:10.1016/j.jde.2008.03.026.

[4] Burkholder, D.L.: A geometric condition that implies the existence of certain singular integrals of Banach-space-valued functions. In: Conference on Harmonic Analysis in Honor of Antoni Zygmund, vol. I, II (Chicago, Ill., 1981), pp. 270–286, Wadsworth Math. Ser., Wadsworth (1983)

[Bourgain-5] 1 2 J. Bourgain: Some remarks on Banach spaces in which martingale difference sequences are unconditional. In: Ark. Mat. Band 21, Nr. 1–2, 198, S. 163 - 168, doi:10.1007/BF02384306.

[6] Tuomas Hytönen, Jan van Neerven, Mark Veraar und Lutz Weis: Analysis in Banach Spaces : Volume I: Martingales and Littlewood-Paley Theory. Hrsg.: Springer International Publishing. Cham 2016, ISBN 978-3-319-48520-1, S. 356, doi:10.1007/978-3-319-48520-1_4.