UMD-Raum

Ein UMD-Raum (von englisch unconditional martingale difference space) ist in der Funktionalanalysis und der stochastischen Analysis ein Banach-Raum, in dem alle Martingal-Differenzenfolgen eines beliebigen endlichen Martingals unbedingt konvergente Reihen sind. Solche Räume besitzen viele der guten Eigenschaften eines Hilbert-Raumes und Martingal-Differenzfolgen teilen Eigenschaften von orthogonalen Folgen. Man sagt, dass Banach-Räume die UMD-Eigenschaft besitzen, wenn sie UMD-Räume sind.

Der Begriff wurde von den französischen Mathematiker Bernard Maurey und Gilles Pisier eingeführt. Motivation war es, eine genügend große Klasse von Banach-Räumen zu finden, so dass auch klassische Banach-Räume wie die L^p-Räume für $1 < p < \infty$ enthalten sind, die Räume sich aber trotzdem wie Hilbert-Räume verhalten, deshalb lassen sich viele der Aussagen für Hilbert-Räume direkt auf UMD-Räume übertragen. Obwohl der UMD-Raum eine probabilistische Definition hat, stellt sich heraus, dass die UMD-Eigenschaft zu einigen analytischen Eigenschaften äquivalent ist, wie zum Beispiel, dass die Hilbert-Transformation auf $L^{p}$ beschränkt ist.

Um den Begriff des UMD-Raumes zu definieren, führt man zuerst den UMD $_{p}$ -Raum für ein $p \in (1, \infty)$ ein. Ein tiefes Resultat von Maurey und Pisier sagt dann, dass ein Banach-Raum, der ein UMD $_{p}$ -Raum für ein bestimmtes $p$ ist, auch ein UMD $_{q}$ -Raum für alle anderen $q \in (1, \infty)$ ist. Deshalb spricht man häufig nur von UMD-Räumen.

Mit Hilfe von UMD-Räumen lässt sich die Itô-Isometrie auf Banach-Räume erweitern und folglich ergibt sich eine Theorie der stochastischen Integration bezüglich einer brownschen Bewegung für Banach-wertige Zufallsvariablen.

UMD-Raum

Sei $(Ω, ℱ, P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum mit Filtration $𝔽$ und $(E, ‖ \cdot ‖_{E})$ ein Banach-Raum. Mit $X \in L^{p} (Ω, E)$ meinen wir $𝔼 [‖ X ‖_{E}^{p}] < \infty$ .

Grundbegriffe

Eine Reihe $\sum_{n = 1}^{\infty} x_{n}$ heißt unbedingt konvergent falls für jede Folge ${(ε_{n})}_{n = 1}^{\infty}$ mit $ε_{n} \in {- 1, + 1},$ die Reihe

\sum_{n = 1}^{\infty} ε_{n} x_{n}

konvergiert.

Sei $(M_{n})_{n \in N}$ ein $E$ -wertiges $𝔽$ -adaptiertes Martingal. $(M_{n})_{n \in N}$ ist ein $L^{p}$ -Martingal, falls $M_{n} \in L^{p} (Ω, E)$ für alle $n$ , das bedeutet

max_{n \in ℕ} 𝔼 [‖ M_{n} ‖_{E}^{p}] < \infty

.

Für ein Martingal $(M_{n})_{n \in N}$ ist die Martingal-Differenzfolge $(d M_{n})_{n \in ℕ}$ definiert als

d M_{n} := M_{n} - M_{n - 1}

mit

M_{0} = 0

. Ist

(M_{n})_{n \in ℕ}

ein

L^{p}

-Martingal, dann nennt man

(d M_{n})_{n \in N}

eine $L^{p}$ -Martingal-Differenzfolge.

Definition

Sei $(ε_{n})_{n \in ℕ}$ eine Folge mit $ε_{n} \in {- 1, 1}$ für alle $n \in ℕ$ .

Ein Banach-Raum $E$ ist ein UMD_p-Raum, falls für ein $p \in (1, \infty)$ eine Konstante $β$ existiert, so dass für alle $E$ -wertigen $L^{p}$ -Martingale-Differenzfolgen $(d M_{n})_{n = 1}^{N}$ mit $N \in ℕ$ und alle $(ε_{n})_{n \in ℕ}$ die folgende Ungleichung gilt

𝔼 [‖ \sum_{n = 1}^{N} ε_{n} d M_{n} ‖_{E}^{p}] \leq β^{p} 𝔼 [‖ \sum_{n = 1}^{N} d M_{n} ‖_{E}^{p}] .

Erläuterungen

Die in der Gleichung benützte Norm ist die Norm von $E$ . Analog lässt sich die Gleichung auch mittels der $L^{p}$ -Norm $‖ X ‖_{L^{p} (Ω, E)} = 𝔼 [‖ X ‖_{E}^{p}]^{1 / p}$ schreiben.
Die $(d M_{n})$ bilden eine unbedingt konvergente Basis in $L^{p}$ .
Ersetzt man $d M_{n}$ mit $ε_{n} d M_{n}$ erhält man die Umgekehrte-Gleichung

𝔼 [‖ \sum_{n = 1}^{N} d M_{n} ‖_{E}^{p}] \leq β^{p} 𝔼 [‖ \sum_{n = 1}^{N} ε_{n} d M_{n} ‖_{E}^{p}] .

Der Wahrscheinlichkeitsraum lässt sich durch einen beliebigen σ-endlichen Raum ersetzen.

p-Unabhängigkeit

Falls $X$ ein UMD $_{p}$ -Raum für ein $p \in (1, \infty)$ ist, dann ist $X$ auch ein UMD $_{q}$ -Raum für alle $q \in (1, \infty)$ .

Eigenschaften

Alle UMD-Räume sind reflexiv. Sie sind sogar super-reflexiv.
Alle UMD-Räume sind K-konvex.

Beziehung zu singulären Integraloperatoren

Eine rein analytische Charakterisierung der UMD-Räume über die Hilbert-Transformation stammt von Burkholder und Bourgain. Es sei $E$ ein beliebiger UMD-Raum und $𝕋$ der Torus. Dann bewiesen sie, dass die UMD $_{p}$ -Räume gerade diejenigen Räume sind, auf denen

die Hilbert-Transformation auf $L^{p} (ℝ, E)$ beschränkt ist,
die Riesz-Projektion auf $L^{p} (𝕋, E)$ beschränkt ist,

und somit sind sie auch für alle $p \in (1, \infty)$ beschränkt.

Existenz einer symmetrischen, bikonvexen Funktion

Folgendes ist äquivalent:

$X$ ist ein UMD-Raum
Es existiert eine symmetrische, bikonvexe Funktion $ζ$ auf $X \times X$ , so dass $ζ (0, 0) > 0$ und $ζ (x, y) ≦ ‖ x + y ‖_{E}$ falls $‖ x ‖_{E} \leq 1 \leq ‖ y ‖_{E}$

Beispiele

Folgende Räume sind u. a. UMD-Räume:

alle endlich-dimensionalen Räume
alle Hilbert-Räume
die $L^{p}$ -Räume für $1 < p < \infty$
die Sobolew-Räume für $1 < p < \infty$
die Schatten-Klassen für $1 < p < \infty$
reflexive Besov-Räume
reflexive Birnbaum-Orlicz-Räume

Räume ohne UMD-Eigenschaft

Alle nicht-reflexiven Räume ( $L^{1} (S)$ , $C (S)$ usw. für ein σ-endlicher Raum $(S, Σ, μ)$ )

Literatur

Tuomas Hytönen, Jan van Neerven, Mark Veraar und Lutz Weis: Analysis in Banach Spaces : Volume I: Martingales and Littlewood-Paley Theory. Hrsg.: Springer International Publishing. Cham 2016, ISBN 978-3-319-48520-1, S. 267–372, doi:10.1007/978-3-319-48520-1_4.
Gilles Pisier: Martingales in Banach Spaces. In: Cambridge University Press (Hrsg.): Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 2016, S. 151–217, doi:10.1017/CBO9781316480588.

Einzelnachweise

1 2 Tuomas Hytönen, Jan van Neerven, Mark Veraar und Lutz Weis: Analysis in Banach Spaces : Volume I: Martingales and Littlewood-Paley Theory. Hrsg.: Springer International Publishing. Cham 2016, ISBN 978-3-319-48520-1, S. 267–372, doi:10.1007/978-3-319-48520-1_4.
↑ J. M. A. M. van Neerven, M. C. Veraar und L. Weis: Stochastic integration in UMD Banach spaces. In: Institute of Mathematical Statistics (Hrsg.): The Annals of Probability. Band 35, Nr. 4, 2007, S. 1438 - 1478, doi:10.1214/009117906000001006.
↑ Zdzislaw Brzezniak, Jan van Neerven, Mark Veraar und Lutz Weis: Itô's formula in UMD Banach spaces and regularity of solution of the Zaka equation. In: Journal of Differential Equations. Band 245, Nr. 1, 2008, S. 30–58, doi:10.1016/j.jde.2008.03.026.
↑ Burkholder, D.L.: A geometric condition that implies the existence of certain singular integrals of Banach-space-valued functions. In: Conference on Harmonic Analysis in Honor of Antoni Zygmund, vol. I, II (Chicago, Ill., 1981), pp. 270–286, Wadsworth Math. Ser., Wadsworth (1983)
1 2 J. Bourgain: Some remarks on Banach spaces in which martingale difference sequences are unconditional. In: Ark. Mat. Band 21, Nr. 1–2, 198, S. 163 - 168, doi:10.1007/BF02384306.
↑ Tuomas Hytönen, Jan van Neerven, Mark Veraar und Lutz Weis: Analysis in Banach Spaces : Volume I: Martingales and Littlewood-Paley Theory. Hrsg.: Springer International Publishing. Cham 2016, ISBN 978-3-319-48520-1, S. 356, doi:10.1007/978-3-319-48520-1_4.

[HNVW-1] 1 2 Tuomas Hytönen, Jan van Neerven, Mark Veraar und Lutz Weis: Analysis in Banach Spaces : Volume I: Martingales and Littlewood-Paley Theory. Hrsg.: Springer International Publishing. Cham 2016, ISBN 978-3-319-48520-1, S. 267–372, doi:10.1007/978-3-319-48520-1_4.

[2] J. M. A. M. van Neerven, M. C. Veraar und L. Weis: Stochastic integration in UMD Banach spaces. In: Institute of Mathematical Statistics (Hrsg.): The Annals of Probability. Band 35, Nr. 4, 2007, S. 1438 - 1478, doi:10.1214/009117906000001006.

[3] Zdzislaw Brzezniak, Jan van Neerven, Mark Veraar und Lutz Weis: Itô's formula in UMD Banach spaces and regularity of solution of the Zaka equation. In: Journal of Differential Equations. Band 245, Nr. 1, 2008, S. 30–58, doi:10.1016/j.jde.2008.03.026.

[4] Burkholder, D.L.: A geometric condition that implies the existence of certain singular integrals of Banach-space-valued functions. In: Conference on Harmonic Analysis in Honor of Antoni Zygmund, vol. I, II (Chicago, Ill., 1981), pp. 270–286, Wadsworth Math. Ser., Wadsworth (1983)

[Bourgain-5] 1 2 J. Bourgain: Some remarks on Banach spaces in which martingale difference sequences are unconditional. In: Ark. Mat. Band 21, Nr. 1–2, 198, S. 163 - 168, doi:10.1007/BF02384306.

[6] Tuomas Hytönen, Jan van Neerven, Mark Veraar und Lutz Weis: Analysis in Banach Spaces : Volume I: Martingales and Littlewood-Paley Theory. Hrsg.: Springer International Publishing. Cham 2016, ISBN 978-3-319-48520-1, S. 356, doi:10.1007/978-3-319-48520-1_4.