Diskreter Bewertungsring

Im mathematischen Teilgebiet der kommutativen Algebra sind diskrete Bewertungsringe spezielle lokale Ringe mit besonders guten Eigenschaften.

Definition

Ein diskreter Bewertungsring ist ein lokaler Hauptidealring, der kein Körper ist.

Ein Erzeuger des maximalen Ideals heißt uniformisierendes Element oder kurz Uniformisierendes. Man schreibt auch kurz DVR (für discrete valuation ring) oder DBR.

Eigenschaften

• Ein diskreter Bewertungsring ist ein Dedekindring, insbesondere ein regulärer lokaler Integritätsring.
• Das Spektrum ${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$ eines diskreten Bewertungsringes ${\displaystyle R}$ besteht aus genau zwei Punkten:
  • Einem abgeschlossenen Punkt, dem speziellen Punkt, zugehörig zum maximalen Ideal ${\displaystyle (\pi )}$ (wenn ${\displaystyle \pi }$ das uniformisierende Element ist)
  • und einem nicht abgeschlossenen (aber offenen) Punkt, dem generischen Punkt ${\displaystyle (0)}$.
• Für einen diskreten Bewertungsring ${\displaystyle R}$ wird durch ${\displaystyle \operatorname {Quot} (R)\rightarrow \mathbb {Z}$ ;{\frac {a}{b}}\mapsto v_{\pi }(a)-v_{\pi }(b)} eine diskrete Bewertung auf dem Quotientenkörper definiert (wenn ${\displaystyle v_{\pi }(a)=n}$ für ${\displaystyle (a)=(\pi )^{n}}$ in ${\displaystyle R}$). Diese Bewertung hat ${\displaystyle R}$ als Bewertungsring.
• Ordnet man einem diskret bewerteten Körper ${\displaystyle F}$ seinen Bewertungsring ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{F}}$ zu und wendet darauf obige Konstruktion an, so erhält man einen diskret bewerteten Körper, der isomorph zu ${\displaystyle F}$ ist. Mit anderen Worten: Diese Konstruktionen induzieren eine Äquivalenz von Kategorien zwischen diskret bewerteten Körpern und diskreten Bewertungsringen.

Beispiele

• Der Ring der ganzen p-adischen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ für jede Primzahl ${\displaystyle p}$. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ist dicht in ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$.
• Der Ring der rationalen Zahlen, die p-adisch ganz sind, für eine Primzahl ${\displaystyle p}$
           ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}=\left.\left\{{\frac {z}{n}}\,\right|\,z,n\in \mathbb {Z} ,p\nmid n\right\}}$.
  Es ist ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}=\mathbb {Z} _{p}\cap \mathbb {Q} }$ und ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ist dicht in ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}}$.
• Der Ring der formalen Potenzreihen ${\displaystyle k[[T]]}$ in einer Unbestimmten über einem Körper ${\displaystyle k}$.
• Der Ring der konvergenten Potenzreihen

  ${\displaystyle \mathbb {C} \{T\}=\left.\left\{\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}T^{i}\,\right|\,\exists r>0\colon \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}z^{i}\ \mathrm {konvergiert\ f{\ddot {u}}r} \ |z|<r\right\}\subset \mathbb {C} [[T]].}$

• Der lokale Ring zu einem glatten Punkt einer algebraischen Kurve.

Literatur

• M.F. Atiyah und I.G. MacDonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley Series in Mathematics, 1969, Chapter 9, ISBN 0-201-00361-9