Verma-Modul

In der Mathematik ist der Verma-Modul (benannt nach dem indischen Mathematiker Daya-Nand Verma) ein unendlich-dimensionaler Modul über der universellen einhüllenden Algebra einer Lie-Algebra, aus dem sich die endlich-dimensionalen Darstellungen eines gegebenen höchsten Gewichts gewinnen lassen.

Konstruktion

Sei $𝔤$ eine komplexe halbeinfache Lie-Algebra, $𝔥$ eine Cartan-Unteralgebra, $R$ das Wurzelsystem mit $R^{+}$ als Menge der positiven Wurzeln. Für jedes $α \in R^{+}$ wählen wir ein $X_{α} \in 𝔤_{α}$ und $Y_{α} \in 𝔤_{- α}$ .

Zu einem Gewicht $λ : 𝔥 \to ℂ$ konstruiert man den Verma-Modul $W_{λ}$ als Quotient

W_{λ} := U (𝔤) / I_{λ}

der universellen einhüllenden Algebra $U (𝔤)$ nach dem Linksideal $I_{λ}$ erzeugt von allen Elementen der Form

X_{α}, α \in R^{+}

und

H - λ (H) 1, H \in 𝔥

.

Für einen Vektor höchsten Gewichts $v \in W_{λ}$ ist die durch

Φ (x) = x \cdot v

definierte Abbildung $Φ : U (𝔤) \to W_{λ}$ ein surjektiver Homomorphismus.

Beispiel sl(2,C)

Wir betrachten das Beispiel $𝔤 = 𝔰 𝔩 (2, ℂ)$ . Für $𝔥$ wählen wir den Aufspann von $H = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix})$ .

Für ein beliebiges $m \in ℂ$ definieren wir $λ : 𝔥 \to ℂ$ durch $λ (H) = m$ . Wir wählen $X = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix})$ und $Y = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix})$ .

Dann wird der Verma-Modul $W_{λ}$ von linear unabhängigen Vektoren $v_{0}, v_{1}, v_{2}, \dots$ erzeugt und $U (𝔤)$ wirkt durch

X \cdot v_{j} = j (m - (j - 1)) v_{j - 1}, Y \cdot v_{j} = v_{j + 1}, H \cdot v_{j} = (m - 2 j) v_{j}

.

Wegen $X \cdot v_{m + 1} = 0$ ist der von $v_{m + 1}, v_{m + 2}, \dots$ aufgespannte Untervektorraum ein invarianter Unterraum. Der Quotient von $W_{λ}$ nach diesem Unterraum gibt die endlich-dimensionale Darstellung von $𝔤 = 𝔰 𝔩 (2, ℂ)$ mit höchstem Gewicht $λ$ .

Universelle Eigenschaft

Zu jeder Darstellung $V$ von $𝔤$ , deren höchstes Gewicht $λ$ ist, gibt es einen surjektiven Lie-Algebren-Homomorphismus $W_{λ} \to V$ .

Literatur

Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, 222 (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3-319-13466-6
Humphreys, J. (1980), Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer Verlag, ISBN 978-3-540-90052-8.