Wright-Fisher-Modell

Das Wright-Fisher-Modell ist ein stochastisches Modell in der Evolutionsbiologie, Populationsgenetik und Phylogenetik. Es ermöglicht, die Entwicklung genetischer Variabilität innerhalb einer Population zu simulieren. Mithilfe des Modells lässt sich bei Betrachtung von zwei Allelen in einer Population bestimmen, ob eines der beiden Allele dominiert und letztendlich fixiert. Das Modell ist nach Sewall Wright und Ronald Aylmer Fisher benannt und von ihnen sowie Patrick Alfred Pierce Moran entwickelt. Es diente Motoo Kimura als Grundlage für die Entwicklung seiner neutralen Theorie der molekularen Evolution.

Annahmen

In diesem Artikel steht $\mathbb {N}$ für die natürlichen Zahlen ohne die Null, während $\mathbb {N} _{0}$ die Null enthält.

Betrachte zwei Allele $a$ und $A$ , die gemeinsam den Zustandsraum $E=\{a,A\}$ aufstellen. Weiter betrachte eine Population haploïder, ungeschlechtlich fortpflanzende Individuen. Es wird angenommen, dass die Anzahl $N\in \mathbb {N}$ der Individuen je Generation sehr groß ist, $N\gg 1$ . Die Individuen der ersten Generation besitzen nach dem Zufallsprinzip eines der zwei Allelen. Jedes Individuum lebt nur für eine Generation. Die Individuen der nachfolgenden Generation wählen aus der vorangegangenen jeweils einen beliebigen Vorfahren.

Modell

Sei $N\in \mathbb {N}$ und $\{E,{\mathcal {E}}\}$ ein nicht-leerer meßbarer Raum. Dann heißt der stochastische Prozess $\{\xi _{r}\}_{r\in \mathbb {N} }:=\{\xi _{r,1},\xi _{r,2},\ldots ,\xi _{r,N}\}_{r\in \mathbb {N} }$ mit Werten in $\{1,\ldots ,N\}^{N}$ Wright-Fisher-Ahnenprozess, wenn für alle $r\in \mathbb {N}$ und $i\in \{1,\ldots ,N\}^{N}$ gilt, dass $\xi _{r,i}$ gleichverteilt auf $\{1,\ldots ,N\}^{N}$ ist und unabhängig von allen $\xi _{r^{\prime },i^{\prime }}$ ist für $r\neq r^{\prime }$ und $i\neq i^{\prime }$ .

Für $i,j\in \{1,\ldots ,N\}^{N}$ wird mit dem Ereignis $\{\xi _{r,i}=j\}$ beschrieben, dass das $j$ -te Individuum der $(r-1)$ -ten Generation der Vorgänger des $i$ -ten Individuums der $r$ -ten Generation ist. Mit Gentypkonfiguration des Wright-Fisher-Ahnenprozesses wird der stochastische Prozess $\{t_{r}\}_{r\in \mathbb {N} _{0}}:=\{t_{r,1},t_{r,2},\ldots ,t_{r,N}\}_{r\in \mathbb {N} _{0}}$ bezeichnet, wofür ${\mathcal {L}}(t_{0})=\mu ^{N}$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf $E$ ist und $t_{r,i}:=t_{r-1,j}$ wenn $\xi _{r,i}=j$ für alle $r\geq 1$ und $i,j\in \{1,\ldots ,N\}^{N}$ gilt.

Eigenschaften

Setze ${\textstyle X_{r}:={\frac {1}{N}}\#\{t_{r,i}=A\}}$ den Zählprozess der Anzahl Individuen mit dem Allel $A$ in der $r$ -ten Generation. Jede Generation lässt sich als Bernoulli-Kette auffassen. Die Übergänge folgen einer Binomialverteilung mit Parametern, also ${\textstyle \mathbb {P} (\xi _{r+1,i}=k)=\mathbb {P} (X_{r+1}=i\vert X_{r}=k)={\binom {N}{i}}f_{r}^{i}(1-f_{r})^{N-i}}$ mit ${\textstyle f_{r}={\frac {X_{r}}{N}}}$ die Frequenz des Allels $A$ in der $r$ -ten Generation. Die beiden Prozesse $X$ und $f$ sind sowohl zeithomogene Markow-Ketten auf $\{0,1,\ldots ,N\}$ beziehungsweise ${\textstyle \{0,{\frac {1}{N}},\ldots ,{\frac {N}{N}}=1\}}$ als auch Martingale bezüglich der kanonischen Filtrierung. Ihre absorbierenden Zustände sind die Randwerte $\{0,N\}$ beziehungsweise $\{0,1\}$ . Die bedingte Varianz von $X$ ist ${\textstyle \mathbb {V} [X_{r+1}\vert X_{r}]=Nf_{r}(1-f_{r})={\frac {X_{r}(N-X_{r})}{N}}}$ und von $f$ ist sie ${\textstyle \mathbb {V} [f_{r+1}\vert f_{r}]={\frac {f_{r}(1-f_{r})}{N}}}$ , was bedeutet, dass die Frequenzfluktuation wesentlich bedeutender um den Median als an den Rändern ist.

Sowohl die Austauschbarkeit als auch die Martingaleigenschaft garantieren, dass das Wright-Fisher-Modell neutral ist. Es wird keine Selektion vorgenommen.

Eintrittswahrscheinlichkeit der Allelfixierung

Bezeichne mit $\mathrm {T}$ den (zufälligen) ersten Zeitpunkt, wofür $X\in \{0,1\}$ , d. h. wofür eines der beiden Allele fixiert. $\mathrm {T}$ ist eine Stoppzeit, wofür dem Stoppsatz folgend $p=X_{0}=\mathbb {E} X_{0}=\mathbb {E} X_{\mathrm {T} }$ gilt. Da $X_{\mathrm {T} }\in \{0,1\}$ , gilt außerdem ${\textstyle p=\mathbb {E} [1\cdot \mathbb {I} _{\{X_{\mathrm {T} }=1\}}]+\mathbb {E} [0\cdot \mathbb {I} _{\{X_{\mathrm {T} }=0\}}]=\mathbb {P} (X_{\mathrm {T} }=1)}$ , wobei $\mathbb {I}$ die Indikatorfunktion. Es lässt sich zeigen, dass $\mathrm {T}$ einer geometrischen Verteilung folgt und fast sicher endlich ist. Der erwartete Fixierungseintritt $\mathbb {E} \mathrm {T}$ wächst linear mit der Populationsgröße $N$ .

Es lässt sich zeigen, dass $\mathrm {T}$ durch eine geometrisch verteilte Zufallsvariable mit Erfolgswahrscheinlichkeit $2^{-N}$ dominiert wird.

Heterozygosität der Stichprobe

Unter der Heterozygosität der Stichprobe wird die Wahrscheinlichkeit verstanden, dass zwei beliebig gezogene Stichproben der Population verschiedene Typen des Allels besitzen. Für $r\in \mathbb {N} _{0}$ ist die Heterozygosität durch $H_{r}=2f_{r}(1-f_{r})$ definiert. Der Erwartungswert ist ${\textstyle \mathbb {E} [H_{r}]=H_{0}{\Bigl (}1-{\frac {1}{N}}{\Bigr )}^{r}}$ und fällt geometrisch mit $r\to \infty$ ab. Die genetische Variation verringert sich demnach schnell über wenige Generationen.

Beziehung zu Kingmans Koaleszenz

Betrachte zwei Individuen einer selben Generation und setze $\mathrm {T} _{V}$ die Zeitspanne bis zum letzten gemeinsamen Vorfahren. Indem die Zeitsprünge infinitesimal klein werden, lässt sich der Zählprozess $X$ mithilfe des Donskerschen Invarianzprinzips in eine Diffusion mit Dynamik $\operatorname {d} \!X_{r}={\sqrt {X_{r}(1-X_{r})}}\operatorname {d} \!W_{r}$ entwickeln, wobei $W$ ein Wienerprozess. Diese Diffusion wird auch Wright-Fisher-Grenzprozess oder Wright-Fisher-Diffusion genannt.

Das Modell nähert sich damit der Koaleszenz von Kingman an. Indem mit dem reinen Sterbeprozess $L_{r}$ die Anzahl der Linien der Koaleszenz beschrieben wird, lässt sich die Dualität $\mathbb {E} _{x}[X_{r}^{l}]=\mathbb {E} [x^{L_{r}}]$ beobachten, wobei linkerhand der $l$ -te Moment gemeint ist. Es gilt somit $\lim _{r\to \infty }\mathbb {E} _{x}X_{r}^{l}=\lim _{r\to \infty }\mathbb {E} x^{L_{r}}=\mathbb {E} x^{1}=x$ für beliebiges $l\in \mathbb {N}$ . Ein Erzeuger des Zählprozesses $\{X_{r}\}_{r}$ ist von der Form ${\textstyle A_{x}g(x)={\frac {1}{2}}x(1-x){\partial ^{2} \over \partial x^{2}}f(x)}$ und vom reinen Sterbeprozess $\{L_{r}\}_{r}$ von der Form ${\textstyle A_{n}h(n)={\binom {n}{2}}[h(n-1)-h(n)]}$ . Indem $f(x,\cdot )=g(x)$ und $f(\cdot ,n)=h(n)$ sei, folgt $A_{x}f(x,n)=A_{n}f(x,n)$ , womit eine Dualität zwischen Kingmans Koaleszenz und einem reinen Sterbeprozess hergestellt wird.

Verallgemeinerungen

Das Wright-Fisher-Modell ist ebenso wie das Moran-Modell ein Sonderfall des Cannings-Modells.

Genmutationen

Das Modell lässt sich um Genmutationen erweitern. Dabei wird angenommen, dass die Mutationen schwach, d. h. selten vorkommen, und neutral sind, d. h. dass Mutanten keinen selektiven Vor- oder Nachteil gegenüber den anderen Individuen besitzen. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Nachkomme eines Individuums mit Allel $x$ selbst das Allel $y$ besitzt, ist durch ${\textstyle p_{x\to y}={\frac {m_{x\to y}}{N}}}$ gegeben, wobei $m_{x\to y}$ die Mutationsrate vom Allel $x$ zum Allel $y$ . Die Übergangswahrscheinlichkeit wird dadurch zu ${\textstyle \mathbb {P} (X_{r+1}=i\vert X_{r}=k)={\binom {N}{i}}\varphi _{r}^{i}(1-\varphi _{r})^{N-i}}$ mit ${\textstyle \varphi _{r}={\frac {X_{r}}{N}}(1-p_{a\to A})+(1-{\frac {X_{r}}{N}})p_{A\to a}}$ die angepasste Allelfrequenz. Der Zählprozess $X$ ist folglich kein Martingal mehr, aber weiterhin eine Markow-Kette. Im Gegensatz zum Fall ohne Mutationen ist nun die Markow-Kette irreduzibel und sogar ergodisch.

Die Dynamik des Wright-Fisher-Prozesses ändert sich zu $\operatorname {d} \!X_{r}=-{\Bigl (}m_{a\to A}X_{r}-m_{A\to a}(1-X_{r}){\Bigr )}\operatorname {d} \!r+{\sqrt {X_{r}(1-X_{r})}}\operatorname {d} \!W_{r}$ Dieser starke Markow-Prozess hat eine eindeutige stationäre Verteilung gegeben durch die Beta-Verteilung $\operatorname {Beta} (2m_{a\to A},2m_{A\to a})$ .

Das Modell mit Genmutationen lässt sich sowohl auf endlich viele Allele erweitern, als auch auf unendlich viele mithilfe der Stichprobenformel von Ewens. Um sicherzustellen, dass keine Mutationen an derselben Stelle doppelt vorkommen, muss das Modell insofern erweitert werden, als dass die Mutationen an Myriaden von Stellen im Genom stattfinden können. Die Mutationen lassen sich in eine dünnbesetzte Matrix übertragen, wobei die Zeilen die Generationen und die Spalten die Genomstellen darstellen. Damit lässt sich dann der entsprechende Koaleszent entwickeln. Die Mutationsrate lässt sich mithilfe von Methoden der größten Dichte schätzen.

Weitere verallgemeinerte Modelle

Fisher-Wright-Haldane-Modell

Anmerkungen

↑ Man beobachte, dass eine retrospektive Sicht damit einnimmt. Die Nachfolger wählen ihre jeweiligen Vorgänger aus. Eine prospektive Sicht lässt sich ebenfalls formulieren mithilfe des Vektors $\nu ^{(r)}={\bigl (}\nu _{1}^{(r)},\ldots ,\nu _{N}^{(r)}{\bigr )}$ mit $\nu _{k}^{(r)}=\#{\bigl \lbrace }i\vert \xi _{r+1,i}=k{\bigr \rbrace }$ , sodass $\sum _{i=1}^{N}\nu _{i}^{(r)}=N$ und wodurch die Vektoren jeweils austauschbar für festes $r\in \mathbb {N}$ sind.
↑ Entgegen dem Hardy-Weinberg-Modell, wo eine Fixierung nicht notwendigerweise eintritt. Beachte, dass jenes Modell eine unendliche große Population annimmt.
↑ Das lineare Verhältnis zwischen Populationsgröße und erwartetem Fixierungseintritt bedeutet, dass z. B. in einer Population von $10^{6}$ Individuen die Allelfixierung um die $10^{6}$ -te Generation herum geschieht.
↑ Es handelt sich dabei um einen Sonderfall der Jacobi-Diffusion, die selbst einen Sonderfall der Pearson-Diffusion darstellt. Beachte, dass der Prozess nicht den gängigen Stetigkeitsargumenten (z. B. Satz von Yamada-Watanabe) unterfällt.
↑ Dualitäten zwischen Markow-Prozessen sind rar, aber im gegebenen Falle ist einer der dualen Prozesse häufig einfacher in der Manipulation.
↑ Eine schwache Mutation kommt seltener als ein Zehnmillionstel $10^{-7}$ vor. Die meisten Mutationen sind nicht nur neutral, sondern sogar stumm, d. h. Genotypänderungen führen zu keinerlei Phänotypänderungen.

Siehe auch

Literatur

Stephan Morgenthaler: Génétique statistique (= Statistiques et probabilites appliquees). Springer, Paris Berlin 2008, ISBN 978-2-287-33911-0 (französisch).
Gerold Alsmeyer: Mathematische Populationsgenetik. Vorlesung im Sommersemester. 2008, Kap. 2 Das Wright-Fisher-Modell (Online [PDF; 554 kB; abgerufen am 2. Mai 2026]).
Wolfgang Stephan, Anja Christina Hörger: Molekulare Populationsgenetik: Theoretische Konzepte und empirische Evidenz. 1. Aufl. 2019. Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg 2019, ISBN 978-3-662-59427-8, 2.1.1 Wright-Fisher-Modell.

Weblinks

drawWrightFisher von Bernhard Haubold
popG (archiviert & gespiegelt) – Simulation des Wright-Fisher Modells von Joe Felsenstein (s. a. PHYLIB)
STUN: Forward-time Simulation on TUnable fitNess landscapes in recombining populations des Banklab

Einzelnachweise

↑ Nicole Bäuerle et al.: Ausbreitung von Gerüchten – mit Markov-Ketten modellieren. In: Stochastik in der Schule. Band 40, Nr. 3, 2020 (Online [PDF; abgerufen am 24. April 2026]).
↑ Ronald Aylmer Fisher: The Genetical Theory of Natural Selection. Clarendon Press, Oxford 1930, OCLC 18500548, doi:10.5962/bhl.title.27468 (englisch).
↑ Sewall Wright: Statistical Genetics in relation to Evolution (= Actualités Sci. Band 802). Hermann, Paris 1939 (englisch).
↑ P. A. P. Moran: Random processes in genetics. In: Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. Band 54, Nr. 1, Januar 1958, ISSN 0305-0041, S. 60–71, doi:10.1017/S0305004100033193 (englisch, Online [abgerufen am 2. Mai 2026]).
↑ Warren J Ewens: Motoo Kimura and James Crow on the Infinitely Many Alleles Model. In: Genetics. Band 202, Nr. 4, 1. April 2016, ISSN 1943-2631, S. 1243–1245, doi:10.1534/genetics.116.188433, PMID 27053120, PMC 4905530 (freier Volltext) – (englisch, Online [abgerufen am 8. Juni 2026]).
1 2 3 Heike Bickeböller, Christine Fischer: Einführung in die Genetische Epidemiologie (= Statistik und ihre Anwendungen). Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg 2007, ISBN 978-3-540-25616-8, S. 71.
↑ Götz Kersting, Anton Wakolbinger: Stochastische Prozesse (= Mathematik Kompakt). Birkhäuser Springer, Basel 2014, ISBN 978-3-7643-8432-6, S. 56 f.
↑ Matthias Birkner: Stochastische Modelle der Populationsbiologie. Vorlesungsskript. Mainz 2015, S. 74 (WS 2015/2016).

[7] Man beobachte, dass eine retrospektive Sicht damit einnimmt. Die Nachfolger wählen ihre jeweiligen Vorgänger aus. Eine prospektive Sicht lässt sich ebenfalls formulieren mithilfe des Vektors $\nu ^{(r)}={\bigl (}\nu _{1}^{(r)},\ldots ,\nu _{N}^{(r)}{\bigr )}$ mit $\nu _{k}^{(r)}=\#{\bigl \lbrace }i\vert \xi _{r+1,i}=k{\bigr \rbrace }$ , sodass $\sum _{i=1}^{N}\nu _{i}^{(r)}=N$ und wodurch die Vektoren jeweils austauschbar für festes $r\in \mathbb {N}$ sind.

[9] Entgegen dem Hardy-Weinberg-Modell, wo eine Fixierung nicht notwendigerweise eintritt. Beachte, dass jenes Modell eine unendliche große Population annimmt.

[10] Das lineare Verhältnis zwischen Populationsgröße und erwartetem Fixierungseintritt bedeutet, dass z. B. in einer Population von $10^{6}$ Individuen die Allelfixierung um die $10^{6}$ -te Generation herum geschieht.

[11] Es handelt sich dabei um einen Sonderfall der Jacobi-Diffusion, die selbst einen Sonderfall der Pearson-Diffusion darstellt. Beachte, dass der Prozess nicht den gängigen Stetigkeitsargumenten (z. B. Satz von Yamada-Watanabe) unterfällt.

[12] Dualitäten zwischen Markow-Prozessen sind rar, aber im gegebenen Falle ist einer der dualen Prozesse häufig einfacher in der Manipulation.

[13] Eine schwache Mutation kommt seltener als ein Zehnmillionstel $10^{-7}$ vor. Die meisten Mutationen sind nicht nur neutral, sondern sogar stumm, d. h. Genotypänderungen führen zu keinerlei Phänotypänderungen.

[1] Nicole Bäuerle et al.: Ausbreitung von Gerüchten – mit Markov-Ketten modellieren. In: Stochastik in der Schule. Band 40, Nr. 3, 2020 (Online [PDF; abgerufen am 24. April 2026]).

[2] Ronald Aylmer Fisher: The Genetical Theory of Natural Selection. Clarendon Press, Oxford 1930, OCLC 18500548, doi:10.5962/bhl.title.27468 (englisch).

[3] Sewall Wright: Statistical Genetics in relation to Evolution (= Actualités Sci. Band 802). Hermann, Paris 1939 (englisch).

[4] P. A. P. Moran: Random processes in genetics. In: Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. Band 54, Nr. 1, Januar 1958, ISSN 0305-0041, S. 60–71, doi:10.1017/S0305004100033193 (englisch, Online [abgerufen am 2. Mai 2026]).

[5] Warren J Ewens: Motoo Kimura and James Crow on the Infinitely Many Alleles Model. In: Genetics. Band 202, Nr. 4, 1. April 2016, ISSN 1943-2631, S. 1243–1245, doi:10.1534/genetics.116.188433, PMID 27053120, PMC 4905530 (freier Volltext) – (englisch, Online [abgerufen am 8. Juni 2026]).

[:0-6] 1 2 3 Heike Bickeböller, Christine Fischer: Einführung in die Genetische Epidemiologie (= Statistik und ihre Anwendungen). Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg 2007, ISBN 978-3-540-25616-8, S. 71.

[8] Götz Kersting, Anton Wakolbinger: Stochastische Prozesse (= Mathematik Kompakt). Birkhäuser Springer, Basel 2014, ISBN 978-3-7643-8432-6, S. 56 f.

[14] Matthias Birkner: Stochastische Modelle der Populationsbiologie. Vorlesungsskript. Mainz 2015, S. 74 (WS 2015/2016).