Siegel-Scheibe

In der Mathematik sind Siegel-Scheiben ein Begriff aus der Theorie komplexer dynamischer Systeme. Es handelt sich um Komponenten der Fatou-Menge, auf denen die Dynamik zu einer irrationalen Drehung konjugiert ist.

Definition

Sei ${\displaystyle f\colon S\to S}$ eine holomorphe Abbildung zwischen riemannschen Flächen. Eine Zusammenhangskomponente ${\displaystyle U}$ der Fatou-Menge ${\displaystyle {\mathcal {F}}(f)}$ heißt Siegel-Scheibe um ${\displaystyle z_{0}\in U}$, wenn es eine biholomorphe Abbildung ${\displaystyle \phi \colon U\to D}$ auf die Einheitskreisscheibe ${\displaystyle D}$ mit ${\displaystyle \phi (z_{0})=0}$ gibt, so dass ${\displaystyle \phi f\phi ^{-1}}$ eine irrationale Drehung, also ${\displaystyle \phi f\phi ^{-1}(z)=e^{2\pi i\alpha }z}$ für ein ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$ ist.

Die Frage, ob es zu gegebenem ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle z_{0}}$ eine Siegel-Scheibe gibt, wird in älterer Literatur als Zentrumsproblem bezeichnet.

Sätze von Siegel und Brjuno

Damit es eine Siegel-Scheibe geben kann, muss die Rotationszahl ${\displaystyle f^{\prime }(z_{0})}$ von der Form ${\displaystyle e^{2\pi i\alpha }}$ mit einer irrationalen Zahl ${\displaystyle \alpha }$ sein.

Siegel bewies 1942, dass es eine Siegel-Scheibe gibt, wenn man Konstanten ${\displaystyle C>0}$ und ${\displaystyle \nu \geq 2}$ findet, so dass ${\displaystyle \left\vert \alpha -{\frac {p}{q}}\right\vert \geq {\frac {C}{q^{\nu }}}}$ für alle rationalen Zahlen ${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$ gilt.

Rüßmann und Brjuno verbesserten diese arithmetische Bedingung Ende der 1960er Jahre.

Satz von Brjuno: Es gibt eine Siegel-Scheibe, wenn für die Folge ${\displaystyle {\frac {p_{n}}{q_{n}}}}$ in der Kettenbruchentwicklung von ${\displaystyle \alpha }$ gilt: ${\displaystyle \sum _{n}{\frac {\log q_{n+1}}{q_{n}}}<\infty }$. (Solche Zahlen werden als Brjuno-Zahlen bezeichnet.)

Yoccoz bewies 1988, dass Brjunos Bedingung optimal ist. Zu jeder Zahl ${\displaystyle \alpha }$, die keine Brjuno-Zahl ist, ist ${\displaystyle f(z)=z^{2}+e^{2\pi i\alpha }z}$ eine nicht-linearisierbare holomorphe Funktion.

Literatur

• Carl Ludwig Siegel: Iteration of analytic functions, Ann. Math. 43, 607–612 (1942)
• Alexander D. Brjuno: Analytic form of differential equations. I, II, Trudy Moskovskogo Matematičeskogo Obščestva 25, 119–262 (1971)
• Jean-Christophe Yoccoz: Théorème de Siegel, nombres de Bruno et polynômes quadratiques, Petits diviseurs en dimension 1, Astérisque 231, 3–88 (1995)

Weblinks

• Scholarpedia: Siegel disks/Linearization