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El menos uno (−1) es el número entero negativo mayor que el menos dos y menor que el cero. El número −1 es el inverso aditivo u opuesto de 1; es decir, el número que, sumado a 1, da como resultado el elemento neutro de la adición, el 0.

Propiedades matemáticas

Es el número opuesto de 1, es decir, el número que, cuando se le suma a 1, da 0.
Tiene algunas propiedades similares pero ligeramente diferentes a las propiedades positivas de (uno); sería un multiplicador de identidad si no fuera por el cambio de signo: (−1) · x = −x ; según la definición de que x⁻¹ = -x.
En los números imaginarios, el i^2 es igual a −1.
El número −1 está presente en la identidad de Euler: $e^{i\pi }=-1\,\!$ .
Es, en informática, un valor inicial para enteros en algunos lenguajes; también se utiliza para mostrar una variable que no contiene nada de informaciones útiles.

Propiedades algebraicas

Multiplicar un número por −1 es equivalente a cambiar el signo del número. O sea, para todo $x$ se tiene $(-1) \cdot x = - x$ . Lo cual se puede demostrar utilizando la propiedad distributiva y el axioma que 1 es el elemento neutro:

x + (-1) \cdot x = 1 \cdot x + (-1) \cdot x = (1 + (-1)) \cdot x = 0 \cdot x = 0

.

Donde se ha hecho uso de la propiedad de que todo número $x$ multiplicado por 0 es igual a 0, lo cual se deduce de la cancelación a partir de la ecuación

0 \cdot x = (0 + 0) \cdot x = 0 \cdot x + 0 \cdot x

.

En otras palabras,

x + (-1) \cdot x = 0

,

por lo que $(-1) \cdot x$ es la inversa aditiva de $x$ , o sea $(-1) \cdot x = - x$ , como se demostró previamente.

Elevación al cuadrado de −1

El cuadrado de −1 (es decir, −1 por −1) es igual a 1. Por lo tanto, el producto de dos números negativos es positivo.

Para demostrar esto algebraicamente, se comienza con la ecuación:

0=-1\cdot 0=-1\cdot [1+(-1)]

La primera ecuación se deriva del resultado anterior. La segunda se deriva de la definición de −1 como el inverso aditivo de 1: es precisamente el número que da 0 al sumarse a 1. Aplicando la propiedad distributiva, vemos:

0=-1\cdot [1+(-1)]=-1\cdot 1+(-1)\cdot (-1)=-1+(-1)\cdot (-1)

.

La segunda ecuación se deriva del hecho de que 1 es el elemento neutro de la multiplicación. Sumando 1 a ambos lados de la última ecuación se obtiene:

(-1)\cdot (-1)=1

.

Las consecuencias anteriores también se aplican a cualquier anillo que generalice el álgebra abstracta de números enteros y reales.

Raíz cuadrada de −1

El número complejo i satisface i² = −1 y, por lo tanto, se considera la raíz cuadrada de −1. El único otro número complejo x que satisface la ecuación x² = −1 es −i. En el álgebra de cuaterniones, que contiene el plano complejo, la ecuación x² = −1 tiene infinitas soluciones.

Inversa y elementos invertibles

La exponenciación de un número real distinto de cero se puede extender a números enteros negativos, donde elevar un número a la potencia −1 tiene el mismo efecto que obtener su inverso multiplicativo:

x -1 = 1 / x

.

Esta definición se aplica a los enteros negativos, preservando la ley exponencial $x a x b = x (a + b)$ para los números reales $a$ y $b$ .

Un −1 superíndice en $f -1 (x)$ representa la función inversa de $f (x)$ , donde $(f (x)) -1$ expresa específicamente un recíproco puntual. Donde $f$ es biyectiva especificando un codominio de llegada de todo $y \in Y$ para todo valor del dominio $x \in X$ , habrá

f -1 (f (x)) = x,

y

f -1 (f (y)) = y

.

Cuando un subconjunto del codominio se especifica dentro de la función $f$ , su inversa provee una imagen inversa, o preimagen, de ese subconjunto para la función.

Anillos

La exponenciación con enteros negativos se puede extender a elementos simétricos de un anillo definiendo $x -1$ como el inverso multiplicativo de $x$ ; en este contexto, estos elementos son considerados unidades.^: p.49

En un dominio polinómico $F [x]$ sobre todo campo $F$ , el polinomio $x$ has no inverse. Si tuviera un simétrico $q (x)$ , entonces habría

x q (x) = 1 \Rightarrow deg (x) + deg (q (x)) = deg (1)

\Rightarrow 1 + deg (q (x)) = 0

\Rightarrow deg (q (x)) = -1

lo cual no es posible, y por lo tanto, $F [x]$ no es un campo. En forma más específica, porque el polinomio no es continuo, no es una unidad en $F$ .

Potenciación de enteros negativos

La potenciación de un número real distinto de cero se puede extender a los enteros negativos. Se define que $x -1 = 1 / x$ , significando que un número elevado a la potencia −1 tiene el mismo efecto que obtener su recíproco. Esta definición es luego extendida a los enteros negativos, preservando la ley de potencia $x a x b = x (a + b)$ para números reales $a$ y $b$ .

La potenciación a enteros negativos puede ser extendida a elementos no invertibles de un anillo, si se define $x -1$ como la inversa multiplicativa de $x$ .

Un −1 que se presenta como un sobreíndice de una función no significa que se debe tomar la recíproca puntual de la función, sino la función inversa de la función. Por ejemplo, $sin -1 (x)$ es una notación para la función arcoseno, y en general $f -1 (x)$ representa la función inversa de $f (x)$ ,. Cuando un subconjunto del codominio es especificado en la función, el mismo representa la preimagen del subconjunto para esa función.

Representación binaria en la computadora

Hay varias representaciones diferentes de −1 y enteros negativos en general en los sistemas informáticos. El más utilizado es el complemento a dos de su forma positiva. Menos uno tiene la misma representación en complemento a dos que el entero positivo 2 n − 1, donde n es el número de dígitos binarios en la representación (el número de bits en el tipo de datos). Por ejemplo, 11111111₂ ( binario ) o FF ₁₆ ( hex ) para n = 8 representa el número −1 en complemento a dos, pero 255 en la representación estándar.

Historia

La historia del número −1 forma parte de la historia de los números negativos, cuya aceptación como entidades matemáticas legítimas fue un proceso lento y discontinuo que se extendió durante cerca de dos milenios. Mientras que algunas tradiciones matemáticas de Asia los emplearon desde la Antigüedad para resolver problemas prácticos, en Europa fueron considerados durante siglos cantidades «falsas», «ficticias» o «absurdas», y su plena justificación formal no se alcanzó hasta el siglo XIX.

Uso en las matemáticas de China e India

La referencia más antigua conocida al uso sistemático de cantidades negativas se encuentra en Los nueve capítulos sobre el arte matemático, compendio chino realizado a lo largo de varios siglos y que tomó su forma definitiva durante la dinastía Han. En su octavo capítulo, dedicado a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante tablas de varillas de cálculo, se distinguen las cantidades positivas (zheng) de las negativas (fu) y se enuncian reglas para sumarlas y restarlas. Según el comentario de Liu Hui (263 d. C.), las cantidades positivas se representaban con varillas rojas y las negativas con varillas negras, convención inversa a la de la contabilidad moderna.

En la India, el matemático y astrónomo Brahmagupta expuso en su tratado Brahmasphutasiddhanta (628 d. C.) el primer conjunto conocido de reglas aritméticas completas para operar con números negativos, a los que interpretó como «deudas», frente a los positivos, entendidos como «bienes» o «fortunas». Entre sus reglas figuran que una deuda menos cero es una deuda, que cero menos una deuda es un bien y que el producto de dos deudas es un bien, es decir, la actual regla de los signos.

Resistencia en la tradición europea

En Europa, la influencia de la matemática griega dificultó durante siglos la aceptación de los números negativos. Para los matemáticos griegos, el número estaba ligado a la medida de magnitudes geométricas, como longitudes, áreas y volúmenes, que no admiten valores negativos. Diofanto de Alejandría (siglo III) calificó de «absurda» una ecuación cuya solución habría sido negativa.

Esta resistencia persistió durante el Renacimiento y la Revolución científica. Gerolamo Cardano, en su Ars Magna (1545), admitió las raíces negativas de las ecuaciones, pero las denominó «ficticias». René Descartes, en La Géométrie (1637), las llamó «raíces falsas», y Blaise Pascal consideraba un sinsentido que al restar 4 de 0 pudiera obtenerse algo distinto de cero.

La recta numérica y la consolidación

Un paso decisivo hacia la aceptación de los negativos fue su interpretación geométrica como sentido o dirección, y no como cantidad absoluta. El matemático inglés John Wallis, en su Treatise of Algebra (1685), representó los números sobre una recta en la que los negativos ocupan el lado opuesto del origen respecto de los positivos, antecedente de la moderna recta numérica. En ella, el −1 corresponde a una unidad de distancia a la izquierda del cero. No obstante, el propio Wallis sostuvo también que los números negativos eran mayores que el infinito, muestra de la confusión conceptual que aún rodeaba a estas cantidades.

Durante el siglo XVIII, matemáticos como Leonhard Euler emplearon los números negativos con plena libertad en el cálculo y el álgebra. Sin embargo, su legitimidad siguió siendo objeto de controversia, y a finales de ese siglo autores británicos como Francis Maseres y William Frend propusieron todavía eliminarlos del álgebra. Su fundamentación rigurosa llegó en el siglo XIX, cuando el desarrollo del álgebra permitió definirlos a partir de las propiedades de las operaciones, con independencia de cualquier interpretación física.

El −1 y los números imaginarios

El número −1 desempeñó también un papel central en el origen de los números complejos. En el siglo XVI, al resolver ecuaciones de tercer grado, los algebristas italianos encontraron expresiones que contenían raíces cuadradas de números negativos. Cardano las mencionó en el Ars Magna, aunque las consideró inútiles, y Rafael Bombelli, en su L'Algebra (1572), fue el primero en establecer reglas para operar con ellas. Así demostró que permitían obtener soluciones reales de ciertas ecuaciones cúbicas.

Dado que ningún número real elevado al cuadrado da un resultado negativo, la raíz cuadrada de −1 fue considerada durante mucho tiempo una cantidad «imposible», y Descartes acuñó para ella el calificativo de «imaginaria». En 1777, Euler introdujo el símbolo i para designar ${\sqrt {-1}}$ , notación que se generalizó posteriormente gracias a la obra de Carl Friedrich Gauss. Los números complejos se convirtieron más tarde en una herramienta fundamental de la física y la ingeniería.

En la matemática actual, el −1 se define de manera abstracta como el opuesto aditivo de 1, es decir, el único número que, sumado a 1, da como resultado el elemento neutro de la adición, el 0.

Véase también

Teorema de Menelao
1 a. C.
2 a. C. (año -1)
Super Mario Bros. (en el mundo 1-2 al atravesar las paredes de la tubería de salida hacia el banderín de meta, si entras a la primera tubería te saldrá el nivel extraño -1)

Referencias

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Datos: Q310395
Multimedia: -1 (number) / Q310395

[1] Spivak, Michael (2012). «Propiedades básicas de los números». Calculus (3.ª edición). Barcelona: Reverté. ISBN 978-84-291-5182-4.

[2] Baldor, Aurelio (2007). Álgebra (2.ª edición). México: Grupo Editorial Patria. ISBN 978-970-817-000-0.

[3] «Imaginary Numbers». Math is Fun. Consultado el 15 de febrero de 2021.

[4] Weisstein, Eric W. «Imaginary Number». MathWorld. Consultado el 15 de febrero de 2021.

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[6] thforum.org

[7] Perlis, Sam (1971). «Capsule 77: Quaternions». Historical Topics in Algebra. Historical Topics for the Mathematical Classroom 31. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. p. 39. ISBN 9780873530583. OCLC 195566. (requiere registro).

[8] Porteous, Ian R. (1995). «Chapter 8: Quaternions». Clifford Algebras and the Classical Groups. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 50. Cambridge: Cambridge University Press. p. 60. ISBN 9780521551779. MR 1369094. OCLC 32348823. doi:10.1017/CBO9780511470912.009.

[9] Por ejemplo, $sin -1 (x)$ es una notación para la función arcoseno.

[MultIdRng-10] Nathanson, Melvyn B. (2000). «Chapter 2: Congruences». Elementary Methods in Number Theory. Graduate Texts in Mathematics 195. New York: Springer. pp. xviii, 1−514. ISBN 978-0-387-98912-9. MR 1732941. OCLC 42061097.

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[Martinez-12] 1 2 3 Martínez, Alberto A. (2006). Negative Math: How Mathematical Rules Can Be Positively Bent (en inglés). Princeton: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-12309-7.

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[Kline-14] 1 2 3 4 5 6 7 Kline, Morris (2012). El pensamiento matemático de la Antigüedad a nuestros días. Madrid: Alianza Editorial. ISBN 978-84-206-6965-6.

[15] Spivak, Michael (2012). «Propiedades básicas de los números». Calculus (3.ª edición). Barcelona: Reverté. ISBN 978-84-291-5182-4.