Antiderivadas

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En cálculo, una antiderivada, derivada inversa, función primitiva, integral primitiva o integral indefinida de una función f es una función diferenciable F cuya derivada es igual a la función original f. Esto se puede expresar simbólicamente como F = f. El proceso de resolver antiderivadas se denomina «antiderivación» (o «integración indefinida»), y su operación opuesta se denomina «derivación», que es el proceso de hallar una derivada. Las antiderivadas se suelen denotar mediante letras romanas mayúsculas, como F y G.

Las antiderivadas están relacionadas con las integrales definidas a través del segundo teorema fundamental del cálculo: la integral definida de una función sobre un intervalo cerrado en el que la función es integrable según Riemann es igual a la diferencia entre los valores de una antiderivada evaluada en los extremos del intervalo.

En física, las antiderivadas surgen en el contexto del movimiento rectilíneo, por ejemplo, al explicar la relación entre posición, velocidad y aceleración. El equivalente discreto del concepto de antiderivada es la antidiferencial.

Ejemplos

La función ${\displaystyle F(x)={\tfrac {x^{3}}{3}}}$ es una primitiva de ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$, ya que la derivada de ${\displaystyle {\tfrac {x^{3}}{3}}}$ es ${\displaystyle x^{2}}$. Dado que la derivada de una función constante es cero, ${\displaystyle x^{2}}$ tendrá un número infinito de primitivas, tales como ${\displaystyle {\tfrac {x^{3}}{3}},{\tfrac {x^{3}}{3}}+1,{\tfrac {x^{3}}{3}}-2}$, etc. Por lo tanto, todas las antiderivadas de ${\displaystyle x^{2}}$ pueden obtenerse cambiando el valor de C en ${\displaystyle F(x)={\tfrac {x^{3}}{3}}+C}$, donde C es una constante arbitraria conocida como la constante de integración. Las gráficas de las primitivas de una función dada son traslaciones verticales entre sí, y la posición vertical de cada gráfica depende del valor C.

De manera más general, la función potencia ${\displaystyle f(x)=x^{n}}$ tiene como antiderivada ${\displaystyle F(x)={\tfrac {x^{n+1}}{n+1}}+C}$ si n ≠ − 1, y ${\displaystyle F(x)=\ln |x|+C}$ si n = −1.

En física, la integración de la aceleración da como resultado la velocidad más una constante. La constante es el término de la velocidad inicial que se perdería al derivar la velocidad, ya que la derivada de un término constante es cero. Este mismo patrón se aplica a integraciones y derivadas posteriores del movimiento (posición, velocidad, aceleración, etc.). Así, la integración da lugar a las relaciones entre la aceleración, la velocidad y el desplazamiento: $${\displaystyle {\begin{aligned}\int a\,dt&=v+v_{0}\\\int v\,dt&=s+s_{0}\end{aligned}}}$$

Usos y propiedades

Las primitivas pueden utilizarse para calcular integrales definidas, aplicando el teorema fundamental del cálculo: si F es una primitiva de la función continua f en el intervalo ${\displaystyle [a,b]}$, entonces: $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).}$$

Por ello, cada una de las infinitas antiderivadas de una función dada f puede denominarse «integral indefinida» de f y escribirse utilizando el símbolo de la integral sin límites: $${\displaystyle \int f(x)\,dx.}$$

Si F es una primitiva de f, y la función f está definida en algún intervalo, entonces cualquier otra primitiva G de f difiere de F en una constante: existe un número c tal que ${\displaystyle G(x)=F(x)+c}$ para todo x. c se denomina constante de integración. Si el dominio de F es una unión disjunta de dos o más intervalos (abiertos), entonces se puede elegir una constante de integración diferente para cada uno de los intervalos. Por ejemplo $${\displaystyle F(x)={\begin{cases}-{\dfrac {1}{x}}+c_{1}&x<0\\[1ex]-{\dfrac {1}{x}}+c_{2}&x>0\end{cases}}}$$

es la antiderivada más general de ${\displaystyle f(x)=1/x^{2}}$ en su dominio natural ${\displaystyle (-\infty ,0)\cup (0,\infty ).}$

Toda función continua f tiene una antiderivada, y una antiderivada F viene dada por la integral definida de f0' con límite superior variable: $${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt~,}$$ para cualquier a en el dominio de f. Variando el límite inferior se obtienen otras antiderivadas, pero no necesariamente todas las antiderivadas posibles. Esta es otra formulación del teorema fundamental del cálculo.

Hay muchas funciones elementales cuyas antiderivadas, aunque existan, no pueden expresarse en términos de funciones elementales. Las funciones elementales son polinomios, funciones exponenciales, logaritmos, funciones trigonométricas, funciones trigonométricas inversas y sus combinaciones mediante composición y combinación lineal. Ejemplos de estas integrales no elementales son

Para una explicación más detallada, véase también Teoría diferencial de Galois.

Técnicas de integración

Encontrar las primitivas de funciones elementales suele ser considerablemente más difícil que hallar sus derivadas; de hecho, no existe un método predefinido para calcular integrales indefinidas). Para algunas funciones elementales, es imposible hallar una antiderivada en términos de otras funciones elementales. Para obtener más información, véase funciones elementales e integral no elemental.

Existen muchas propiedades y técnicas para hallar antiderivadas. Entre ellas se incluyen, entre otras:

• La linealidad de la integración (que descompone integrales complicadas en otras más simples)
• Integración por sustitución, a menudo combinada con identidades trigonométricas o el logaritmo natural
• El método de la regla de la cadena inversa (un caso especial de integración por sustitución)
• Integración por partes (para integrar productos de funciones)
• Integración de la función inversa (una fórmula que expresa la antiderivada de la inversa f⁻¹ de una función invertible y continua f, en términos de f⁻¹ y la antiderivada de f) .
• El método de fracciones parciales en integración, que nos permite integrar todas las funciones racionales—fracciones de dos polinomios.
• El algoritmo de Risch
• Técnicas adicionales para integrales múltiples (véanse, por ejemplo, las integrales dobles, las coordenadas polares, la jacobiana y el teorema de Stokes)
• Integración numérica es una técnica para aproximar una integral definida cuando no existe una antiderivada elemental, como en el caso de −x²
• Manipulación algebraica del integrando (para que se puedan utilizar otras técnicas de integración, como la integración por sustitución)
• Fórmula de Cauchy para la integración repetida (para calcular la n-ésima antiderivada de una función) $${\displaystyle \int _{x_{0}}^{x}\int _{x_{0}}^{x_{1}}\cdots \int _{x_{0}}^{x_{n-1}}f(x_{n})\,dx_{n}\cdots \,dx_{2}\,dx_{1}=\int _{x_{0}}^{x}f(t){\frac {(x-t)^{n-1}}{(n-1)!}}\,dt.}$$

Los sistema algebraico computacional pueden utilizarse para automatizar parte o la totalidad del trabajo que implican las técnicas simbólicas anteriores, lo cual resulta especialmente útil cuando las manipulaciones algebraicas son muy complejas o largas. Las integrales que ya se han derivado pueden consultarse en una tabla de integrales.

Fórmulas básicas

• Si ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)=g(x)}$, entonces ${\displaystyle \int g(x)dx=f(x)+C}$.
• ${\displaystyle \int 1dx=x+C}$
• ${\displaystyle \int a\ dx=ax+C}$
• ${\displaystyle \int x^{n}\ dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C;\ n\neq -1}$
• ${\displaystyle \int \sin {x}\ dx=-\cos {x}+C}$
• ${\displaystyle \int \cos {x}\ dx=\sin {x}+C}$
• ${\displaystyle \int \sec ^{2}{x}\ dx=\tan {x}+C}$
• ${\displaystyle \int \csc ^{2}{x}\ dx=-\cot {x}+C}$
• ${\displaystyle \int \sec {x}\tan {x}\ dx=\sec {x}+C}$
• ${\displaystyle \int \csc {x}\cot {x}\ dx=-\csc {x}+C}$
• ${\displaystyle \int {\frac {dx}{x}}=\ln |x|+C}$
• ${\displaystyle \int e^{x}\ dx=e^{x}+C}$
• ${\displaystyle \int a^{x}\ dx={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C;\ a>0,\ a\neq 1}$
• ${\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}\ dx=\arcsin \left({\frac {x}{a}}\right)+C}$
• ${\displaystyle \int {\frac {1}{a^{2}+x^{2}}}\ dx={\frac {1}{a}}\arctan \left({\frac {x}{a}}\right)+C}$

Notas

1. ↑ Las antiderivadas también se denominan integrales generales, y a veces integrales. Este último término es genérico y se refiere no solo a las integrales indefinidas (antiderivadas), sino también a las integrales definidas. Cuando se utiliza la palabra «integral» sin especificaciones adicionales, se supone que el lector debe deducir del contexto si se refiere a una integral definida o indefinida. Algunos autores definen la integral indefinida de una función como el conjunto de sus infinitas antiderivadas posibles. Otros la definen como un elemento seleccionado arbitrariamente de ese conjunto. Este artículo adopta este último enfoque. En los libros de texto de matemáticas de nivel A en inglés se puede encontrar el término «primitiva completa» —L. Bostock y S. Chandler (1978), *Pure Mathematics 1*; «La solución de una ecuación diferencial que incluye la constante arbitraria se denomina solución general (o, a veces, primitiva completa)».

Referencias