Cociente de Rayleigh

En matemáticas, el cociente de Rayleigh ( /ˈreɪ.li/) para una matriz hermítica ${\displaystyle M}$ y un vector ${\displaystyle x}$ no nulo se define como $${\displaystyle R(M,x)={\frac {x^{*}Mx}{x^{*}x}}.}$$

Para matrices y vectores reales, la condición de ser hermítica se reduce a ser simétrica, y el conjugado transpuesto ${\displaystyle x^{*}}$ al transpuesto habitual ${\displaystyle x'}$. Observamos que ${\displaystyle R(M,cx)=R(M,x)}$ para cualquier escalar ${\displaystyle c}$ distinto de 0. Recordamos que una matriz hermítica es diagonalizable y sus autovalores son todos reales. Puede probarse que, para una matriz dada, el cociente de Rayleigh alcanza su valor mínimo ${\displaystyle \lambda _{\text{min}}}$ (el menor autovalor de ${\displaystyle M}$) cuando ${\displaystyle x}$ es ${\displaystyle v_{\text{min}}}$ (el autovector correspondiente a ${\displaystyle \lambda _{\text{min}}}$). Similarmente, ${\displaystyle R(M,x)\leq \lambda _{\text{max}}}$, y ${\displaystyle R(M,v_{\text{max}})=\lambda _{\text{max}}}$.

El cociente de Rayleigh se usa en el teorema min max para obtener los valores exactos de todos los autovalores. También se usa en algoritmos de autovalores (como el de iteraciones del cociente de Rayleigh) para obtener la aproximación de un autovalor a partir de la aproximación de un autovector.

El rango del cociente de Rayleigh (para cualquier matriz, no necesariamente hermítica) es un campo de valores (Wertvorrat) y contiene su espectro. Cuando la matriz es hermítica, el radio numérico es igual a la norma espectral. En análisis funcional, ${\displaystyle \lambda _{\text{max}}}$ se conoce por radio espectral. En el contexto de C^∗-álgebras o mecánica cuántica algebraica, a la función que asocia a ${\displaystyle M}$ el cociente de Rayleigh–Ritz ${\displaystyle R(M,x)}$ para ${\displaystyle x}$ fijo y ${\displaystyle M}$ que varía a través del álgebra se refiere como estado vectorial del álgebra.

En mecánica cuántica, el cociente de Rayleigh proporciona el valor esperado del observable correspondiente al operador ${\displaystyle M}$ para un sistema cuyo estado viene dado por el vector ${\displaystyle x}$.

Si fijamos la matriz compleja ${\displaystyle M}$, entonces el mapeo resultante del cociente de Rayleigh (considerado como función de ${\displaystyle x}$) determina completamente ${\displaystyle M}$ mediante la identidad de polarización; de hecho, esto es así incluso si permitimos que ${\displaystyle M}$ no sea hermítica. Sin embargo, si restringimos los escalares a los números reales, entonces el cociente de Rayleigh sólo determina la parte simétrica de ${\displaystyle M}$.

Límites de M hermítica

Para cada vector ${\displaystyle x}$, se tiene que ${\displaystyle R(M,x)\in [\lambda _{\text{min}},\lambda _{\text{max}}]}$, donde ${\displaystyle \lambda _{\text{min}},\lambda _{\text{max}}}$ son los autovalores más pequeño y más grande de ${\displaystyle M}$, respectivamente (este resultado se conoce como el principio de Rayleigh–Ritz). Es inmediato al observar que el cociente de Rayleigh es una media ponderada de los autovalores de M: $${\displaystyle R(M,x)={\frac {x^{*}Mx}{x^{*}x}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}y_{i}^{2}}{\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}}},}$$ donde ${\displaystyle (\lambda _{i},v_{i})}$ es el ${\displaystyle i}$-ésimo par de autovalor y autovector tras la ortonormalización, e ${\displaystyle y_{i}=v_{i}^{*}x}$ es la ${\displaystyle i}$-ésima coordenada de ${\displaystyle x}$ en la base de autovectores. Es entonces fácil verificar que los límites se alcanzan en los autovectores correspondientes ${\displaystyle v_{\text{min}},v_{\text{max}}}$.

El hecho de que el cociente sea una media ponderada de los autovalores puede usarse para identificar el segundo, tercer, ... autovalor más granded. Sean ${\displaystyle \lambda _{\text{max}}=\lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq \cdots \geq \lambda _{n}=\lambda _{\text{min}}}$ los autovalores en orden decreciente. Si ${\displaystyle n=2}$ y ${\displaystyle x}$ se restringe a ser ortogonal con ${\displaystyle v_{1}}$, en cuyo caso ${\displaystyle y_{1}=v_{1}^{*}x=0}$, entonces ${\displaystyle R(M,x)}$ tiene valor máximo ${\displaystyle \lambda _{2}}$, y se alcanza cuando ${\displaystyle x=v_{2}}$.

Caso especial de la matriz de covarianzas

Una matriz de covarianzas muestral ${\displaystyle M}$ puede escribirse como el producto ${\displaystyle A'A}$ de la matriz de datos normalizada ${\displaystyle A}$ pre-multiplicada por su transpuesta ${\displaystyle A'}$. Siendo una matriz semidefinida positiva, ${\displaystyle M}$ tiene autovalores no negativos y autovectores ortogonales (o ortogonalizables), lo que puede demostrarse como sigue.

Primero veamos que los autovalores ${\displaystyle \lambda _{i}}$ son no negativos: $${\displaystyle {\begin{aligned}&Mv_{i}=A'Av_{i}=\lambda _{i}v_{i}\\\Rightarrow {}&v_{i}'A'Av_{i}=v_{i}'\lambda _{i}v_{i}\\\Rightarrow {}&\|Av_{i}\|^{2}=\lambda _{i}\|v_{i}\|^{2}\\\Rightarrow {}&\lambda _{i}={\frac {\|Av_{i}\|^{2}}{\|v_{i}\|^{2}}}\geq 0.\end{aligned}}}$$

Segundo, que los autovectores ${\displaystyle v_{i}}$ son ortogonales dos a dos: $${\displaystyle {\begin{aligned}&Mv_{i}=\lambda _{i}v_{i}\\\Rightarrow {}&v_{j}'Mv_{i}=v_{j}'\lambda _{i}v_{i}\\\Rightarrow {}&(Mv_{j})'v_{i}=\lambda _{j}v_{j}'v_{i}\\\Rightarrow {}&\lambda _{j}v_{j}'v_{i}=\lambda _{i}v_{j}'v_{i}\\\Rightarrow {}&(\lambda _{j}-\lambda _{i})v_{j}'v_{i}=0\\\Rightarrow {}&v_{j}'v_{i}=0\end{aligned}}}$$ si todos los autovalores son distintos – en caso de multiplicidad, la base puede ser ortogonalizada.

Ahora, para establecer que el cociente de Rayleigh tiene su máximo con el autovector correspondiente al autovalor más grande, consideremos descomponer un vector ${\displaystyle x}$ arbitrario en la base de autovectores ${\displaystyle v_{i}}$: $${\displaystyle x=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}v_{i},}$$ donde $${\displaystyle \alpha _{i}={\frac {x'v_{i}}{v_{i}'v_{i}}}={\frac {\langle x,v_{i}\rangle }{\|v_{i}\|^{2}}}}$$ es la coordenada de ${\displaystyle x}$ proyectada ortogonalmente sobre ${\displaystyle v_{i}}$. De este modo, tenemos $${\displaystyle {\begin{aligned}R(M,x)&={\frac {x'A'Ax}{x'x}}\\&={\frac {{\bigl (}\sum _{j=1}^{n}\alpha _{j}v_{j}{\bigr )}'(A'A){\bigl (}\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}v_{i}{\bigr )}}{{\bigl (}\sum _{j=1}^{n}\alpha _{j}v_{j}{\bigr )}'{\bigl (}\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}v_{i}{\bigr )}}}\\&={\frac {{\bigl (}\sum _{j=1}^{n}\alpha _{j}v_{j}{\bigr )}'{\bigl (}\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}(A'A)v_{i}{\bigr )}}{{\bigl (}\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}^{2}v_{i}'v_{i}{\bigr )}}}\\&={\frac {{\bigl (}\sum _{j=1}^{n}\alpha _{j}v_{j}{\bigr )}'{\bigl (}\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\lambda _{i}v_{i}{\bigr )}}{{\bigl (}\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}^{2}\|v_{i}\|^{2}{\bigr )}}},\end{aligned}}}$$ lo cual, teniendo en cuenta la ortonormalidad de los autovalores se reduce a $${\displaystyle {\begin{aligned}R(M,x)&={\frac {\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}^{2}\lambda _{i}}{\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}^{2}}}\\&=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}{\frac {(x'v_{i})^{2}}{(x'x)(v_{i}'v_{i})^{2}}}\\&=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}{\frac {(x'v_{i})^{2}}{(x'x)}}.\end{aligned}}}$$ Ésto último establece que el cociente de Rayleigh es la suma de los cuadrados de los cosenos de los ángulos formados por el vector ${\displaystyle x}$ y cada autovalor ${\displaystyle v_{i}}$, ponderados por los autovalores correspondientes.

Si un vector ${\displaystyle x}$ maximiza ${\displaystyle R(M,x)}$, todo múltiplo por un escalar no nulo ${\displaystyle kx}$ también maximiza ${\displaystyle R}$, luego el problema puede reducirse a uno de Lagrange, es decir, maximizar ${\textstyle \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}^{2}\lambda _{i}}$ bajo la restricción ${\textstyle \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}^{2}=1}$.

Definamos ${\displaystyle \beta _{i}=\alpha _{i}^{2}}$. Obtenemos así una programación lineal, que siempre alcanza su máximo en uno de los vértices de su dominio. Un máximo tendrá ${\displaystyle \alpha _{1}=\pm 1}$ y ${\displaystyle \alpha _{i}=0}$ para todo ${\displaystyle i>1}$ (cuando los autovalores estén ordenados por magnitud decreciente).

Así, el cociente de Rayleigh es maximizado por el autovector correspondiente al mayor autovalor.

Uso en la teoría de Sturm–Liouville

La teoría de Sturm-Liouville estudia la acción del operador $${\displaystyle L(y)={\frac {1}{w(x)}}\left(-{\frac {d}{dx}}\left[p(x){\frac {dy}{dx}}\right]+q(x)y\right)}$$ en el espacio con producto interno definido por $${\displaystyle \langle {y_{1},y_{2}}\rangle =\int _{a}^{b}w(x)y_{1}(x)y_{2}(x)\,dx}$$ de funciones que satisfacen unas condiciones de contorno dadas en a y en b. En ese caso, el cociente de Rayleigh es $${\displaystyle {\frac {\langle {y,Ly}\rangle }{\langle {y,y}\rangle }}={\frac {\int _{a}^{b}y(x)\left(-{\frac {d}{dx}}\left[p(x){\frac {dy}{dx}}\right]+q(x)y(x)\right)dx}{\int _{a}^{b}{w(x)y(x)^{2}}dx}}.}$$

A veces se presenta en su forma equivalente, obtenida separando la integral del numeradory aplicando integración por partes: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\langle {y,Ly}\rangle }{\langle {y,y}\rangle }}&={\frac {\left\{\int _{a}^{b}y(x)\left(-{\frac {d}{dx}}\left[p(x)y'(x)\right]\right)dx\right\}+\left\{\int _{a}^{b}{q(x)y(x)^{2}}\,dx\right\}}{\int _{a}^{b}{w(x)y(x)^{2}}\,dx}}\\&={\frac {\left\{\left.-y(x)\left[p(x)y'(x)\right]\right|_{a}^{b}\right\}+\left\{\int _{a}^{b}y'(x)\left[p(x)y'(x)\right]\,dx\right\}+\left\{\int _{a}^{b}{q(x)y(x)^{2}}\,dx\right\}}{\int _{a}^{b}w(x)y(x)^{2}\,dx}}\\&={\frac {\left\{\left.-p(x)y(x)y'(x)\right|_{a}^{b}\right\}+\left\{\int _{a}^{b}\left[p(x)y'(x)^{2}+q(x)y(x)^{2}\right]\,dx\right\}}{\int _{a}^{b}{w(x)y(x)^{2}}\,dx}}.\end{aligned}}}$$

Generalizaciones

1. Para un par de matrices (A, B) dado, y un vector no nulo x, el cociente de Rayleigh generalizado se define como $${\displaystyle R(A,B;x):={\frac {x^{*}Ax}{x^{*}Bx}}.}$$ Éste puede reducirse al cociente de Rayleigh ${\displaystyle R(D,C^{*}x)}$ mediante la transformación ${\displaystyle D=C^{-1}A{C^{*}}^{-1}}$, donde ${\displaystyle CC^{*}}$ es la descomposición de Cholesky de la matriz hermítica definida positiva B.
2. Para un par dado (x, y) de vectores no nulos, y una matriz hermítica H, el cociente de Rayleigh generalizado o a veces el cociente de Rayleigh bilateral puede definirse como^{[cita requerida]} $${\displaystyle R(H;x,y):={\frac {y^{*}Hx}{\sqrt {y^{*}y\cdot x^{*}x}}}}$$ o $${\displaystyle R(H;x,y):={\frac {y^{*}Hx}{y^{*}x}},}$$ donde ambos coinciden con R(H, x) cuando x = y. En mecánica cuántica, esta cantidad se conoce como "elemento de matriz" o "amplitud de transición".

Referencias

1. ↑ Horn, R. A.; Johnson, C. A. (1985). Matrix Analysis. Cambridge University Press. pp. 176-180. ISBN 0-521-30586-1. 
2. ↑ Parlett, B. N. (1998). The Symmetric Eigenvalue Problem. Classics in Applied Mathematics. SIAM. ISBN 0-89871-402-8. 
3. ↑ Costin, Rodica D. (2013). «Midterm notes». Mathematics 5102 Linear Mathematics in Infinite Dimensions, lecture notes. The Ohio State University. 
4. ↑ Ostrowski, A. M. (Jan 1959). «On the convergence of the Rayleigh quotient iteration for the computation of the characteristic roots and vectors. III». Archive for Rational Mechanics and Analysis 3: 325−340. doi:10.1007/BF00284184. 

• Shi Yu, Léon-Charles Tranchevent, Bart Moor, Yves Moreau, Kernel-based Data Fusion for Machine Learning: Methods and Applications in Bioinformatics and Text Mining, Ch. 2, Springer, 2011.