Cofinalidad

En teoría de conjuntos y teoría del orden, un subconjunto $A$ de un conjunto ordenado $X$ es cofinal en $X$ si no tiene cota superior en $X$ .

En teoría de conjuntos se utiliza este concepto para definir la noción de cofinalidad, que permite clasificar los distintos cardinales infinitos.

Cofinalidad de ordinales

La definición de conjunto cofinal es:

Sea $X$ un conjunto ordenado. Un subconjunto $A \subseteq X$ es cofinal en $X$ si para cada $x \in X$ existe un $a \in A$ mayor o igual a $x$ .

Por otro lado, la noción de «cofinal» referida a ordinales es:

Se dice que un ordinal $α$ es cofinal en otro ordinal $β$ si existe una función monótona $f : α \to β$ cuyo rango es cofinal en $β$ .

De este modo, $α$ es cofinal en $β$ si puede «escalarse» el ordinal $β$ en $α$ «saltos» arbitrariamente grandes, superando cualquier ordinal menor que $β$ . Se define entonces la cofinalidad de un ordinal como:

La cofinalidad de un ordinal $α$ es el menor ordinal $cf(α)$ que es cofinal en $α$ .

Es decir, $cf(α)$ es el número mínimo de «saltos» necesarios para «escalar» $α$ .

La cofinalidad de un ordinal sólo tiene interés para ordinales límite, ya que dado cualquier ordinal sucesor $α = β + 1 = {0, 1, ..., β$ } se tiene que $cf(α) = 1$ . En efecto, el rango de la función $f : 1 \to α$ dada por $f (0) = β$ es cofinal en $α$ .

Puede demostrarse que se requieren infinitos «saltos» para escalar un ordinal límite, y que no cualquier ordinal puede ser la cofinalidad de otro:

Dado un ordinal límite $λ$ , $ω \leq cf(λ) \leq λ$ .

La cofinalidad de un ordinal es siempre un cardinal de Von Neumann: para todo $α$ , $cf(α)$ $\in K$ .

En particular, si $card(λ) = κ$ , entonces $cf(λ) \leq κ$ .

La confinalidad es idempotente: $cf(cf(α))=cf(α)$ .

Ejemplos. (Se puede utilizar la notación de números alef para hablar de cofinalidades, identificando $ℵ α$ con el correspondiente ordinal $ω α$ .)

Ningún número natural $n$ es cofinal en $ω$ , porque el rango de cualquier función $f : n \to ω$ tiene un máximo, $f (n - 1)$ , y por tanto una cota superior estricta, $f (n - 1) + 1$ . Así, $cf(ω) = ω$ .
Si se asume el axioma de elección (o incluso una versión más débil), la cofinalidad del primer ordinal no numerable $ω 1$ no es ningún ordinal numerable $δ$ . Esto se debe a que entonces, la unión numerable de conjuntos numerables es a su vez numerable, y ninguna función $f : δ \to ω 1$ es cofinal: la unión de los ordinales en su imagen, todos ellos numerables por la definición de $ω 1$ , es un ordinal numerable $α$ , y $α + 1$ es menor que $ω 1$ y una cota estricta para el rango de $f$ . Por tanto, ha de ser $cf(ω 1) = ω 1$ .
El cardinal $ℵ ω$ es la unión numerable de los cardinales $ℵ n$ . Puesto que esa serie numerable no tiene cota en $ℵ ω$ , se tiene que $cf(ℵ ω) = ω$ .

Ordinal regular

Artículo principal: Cardinal regular

Un ordinal $α$ es regular si coincide con su confinalidad, $α = cf(α)$ . Un ordinal regular es de hecho un cardinal.

Referencias

Ivorra, Carlos, Lógica y teoría de conjuntos, consultado el 22 de abril de 2011 ..
Roitman, Judith (1990). «5.4. Cofinality». Introduction to Modern Set Theory (en inglés). Wiley. ISBN 0-471-63519-7.

Datos: Q1283623