Conjunto suma

En combinatoria aditiva, el conjunto suma (también llamado la suma de Minkowski) de dos subconjuntos ${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle B}$ de un grupo abeliano ${\displaystyle G}$ (escrito aditivamente) está definida como el conjunto de todas las sumas de un elemento de ${\displaystyle A}$ con un elemento de ${\displaystyle B}$. Esto es,

${\displaystyle A+B=\{a+b:a\in A,b\in B\}.}$

El conjunto suma de ${\displaystyle n}$-iterado del conjunto ${\displaystyle A}$ está dado por

${\displaystyle nA=A+\cdots +A,}$

donde en total hay ${\displaystyle n}$ sumandos.

Muchas de las preguntas y resultados de la combinatoria aditiva y teoría de números aditiva puede ser descrita en términos de conjuntos suma. Por ejemplo, el teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange puede ser escrito brevemente de la siguiente forma

${\displaystyle 4\Box =\mathbb {N} ,}$

donde ${\displaystyle \Box }$ es el conjunto de números cuadrados. Un objecto que ha dado cabida a una gran cantidad de estudio son los conjuntos con plegado pequeño, donde el tamaño del conjunto ${\displaystyle A+A}$ es pequeño (comparado con el tamaño de ${\displaystyle A}$); véase por ejemplo el teorema de Freiman.

Véase también

• Conjunto de Sidón
• Lema de Shapley–Folkman

Referencias

• Henry Mann (1976). Addition Theorems: The Addition Theorems of Group Theory and Number Theory (Corrected reprint of 1965 Wiley edición). Huntington, New York: Robert E. Krieger Publishing Company. ISBN 0-88275-418-1. 
• Nathanson, Melvyn B. (1990). «Best possible results on the density of sumsets». En Berndt, Bruce C.; Diamond, Harold G.; Halberstam, eds. Analytic number theory. Proceedings of a conference in honor of Paul T. Bateman, held on April 25-27, 1989, at the University of Illinois, Urbana, IL (USA). Progress in Mathematics 85. Boston: Birkhäuser. pp. 395-403. ISBN 0-8176-3481-9. 
• Nathanson, Melvyn B. (1996). Additive Number Theory: Inverse Problems and the Geometry of Sumsets. Graduate Texts in Mathematics 165. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94655-1. 
• Terence Tao y Van Vu, Additive combinatorics, Cambridge University Press 2006.