Números coprimos

Básicas

• Si dos números enteros a y b son primos entre sí, entonces existen dos enteros x e y / a·x + b·y = 1. (Identidad de Bézout)

• Si a y b son coprimos, además a divide el producto bc, entonces a divide a c. (Lema de Euclides)

• Los números enteros a y b son coprimos cuando b tiene un inverso para el producto módulo a; es decir, existe un número entero y tal que b·y ≡ 1 (mod a). Una consecuencia de esto es que si a y b son primos entre sí y bm ≡ bn (mod a), entonces m ≡ n (mod a). Dicho de otra manera, b es simplificable en el anillo Z/nZ de los enteros módulo a.
• Si los números naturales a y b son coprimos , también lo son a², ab, b²*
• Si los números enteros positivos m y n son coprimos, lo son también m, n, m+n..
• Si a es entero, a y a+1 son coprimos.

Otras propiedades

• Los dos números enteros a y b son primos entre sí, si y solo si, el punto de coordenadas (a, b) en un sistema cartesiano de coordenadas es visible desde el origen (0,0) en el sentido en que no hay ningún punto de coordenadas enteras situado entre el origen y (a,b) (véase la figura 1).

• La probabilidad de que dos números enteros elegidos al azar sean coprimos entre sí es igual a 6/π².

• Dos números naturales a y b son primos entre sí, si y solo si, los números 2^a-1 y 2^b-1 son primos entre sí. Como una generalización de este, se sigue fácilmente del algoritmo de Euclides en base de n>1:

${\displaystyle \gcd(n^{a}-1,n^{b}-1)=n^{\gcd(a,b)}-1.}$

• El número de números naturales menores que n y que son coprimos con él, lo provee la función φ de Euler φ(n).

• Si dos números naturales son consecutivos entonces son coprimos (resto = 1, por el Algoritmo de Euclides).

Proposición

Todo divisor de la suma de dos cuadrados coprimos es igual a la suma de dos cuadrados.

Ejemplo

41 divide a 1681 = 9²+40², (1600 y 81 son coprimos) luego 41 = 5²+4², suma de cuadrados.

Bibliografía

• Eaton, James S. (1872). Treatise on Arithmetic (en inglés). Consultado el 3 de enero de 2017. 

• Hardy, G.H.; Wright, E. M. (2008). An Introduction to the Theory of Numbers (en inglés) (6ª edición). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-921986-5. 

• LeVeque, W. J. (1996) [​1977​]. Fundamentals of Number Theory (en inglés). Nueva York: Dover. ISBN 0-486-68906-9. 

• Stark, H. (1978). An Introduction to Number Theory (en inglés). MIT Press. ISBN 0-262-69060-8. 

Bibliografía adicional

• Lord, Nick (marzo de 2008). «A uniform construction of some infinite coprime sequences». Mathematical Gazette (en inglés) (The Mathematical Association) 92 (523): 66-70. JSTOR 27821719. doi:10.1017/S0025557200182555. Consultado el 3 de enero de 2017.