Criba de Brun

Como función

Sea la función ${\displaystyle f(d)={\frac {\omega (d)}{d\prod _{p\mid d}\left(1-{\frac {\omega (p)}{p}}\right)}}}$

bien definida para todo d con ${\displaystyle \mu (d)=0}$ . Considere los siguientes conjuntos

• ${\displaystyle \mathbb {A} ^{z}=\{a\in \mathbb {A} :a\leq z\}}$
• ${\displaystyle \mathbb {P} _{z}=\prod _{p\in \mathbb {P} ^{z}}p}$
• ${\displaystyle \mathbb {A} _{d}=\{a\in \mathbb {A} :a\equiv 0\mod {d}\}}$
• ${\displaystyle \mathbb {R} _{d}(x)=|\mathbb {A} _{p}^{x}|-{\frac {\omega (d)}{p}}x}$
• ${\displaystyle S(\mathbb {A}$ ;\mathbb {P} ^{z},x)} es el número de elementos restantes en ${\displaystyle \mathbb {A} ^{x}}$ cribando por los elementos de ${\displaystyle \mathbb {P} ^{z}}$, esto es, todos los elementos restantes al quitar los números correspondientes al conjunto ${\displaystyle \mathbb {P} ^{z}}$.

Considere la siguiente función

• ${\displaystyle \omega (d)}$ es una función o comportamiento de manera tal que ${\displaystyle {\frac {\omega (d)}{p}}x\,\!}$ sea una buena aproximación a la cardinalidad del conjunto ${\displaystyle \mathbb {A} _{p}^{x}\,\!}$, esto es, que las variables implicadas en el error no sea muy grandes o sean errores admisibles.

• Suponga que ${\displaystyle |\mathbb {R} _{d}(x)|\leq \omega (d)}$.

Bajo todas estas condiciones se puede afirmar que para todo entero no negativo r existe ${\displaystyle \theta ,\theta ^{,}}$ con ${\displaystyle |\theta |\leq 1}$, ${\displaystyle |\theta ^{,}|\leq 1}$ tales que,

${\displaystyle S(\mathbb {A}$ ;\mathbb {P} ^{z},x)=xW(z)\left(1+\theta {\frac {1}{r!}}\left(\sum _{p\leq z}f(p)\right)^{r}\exp {\sum _{p\leq z}f(p)}\right)+\theta ^{,}\left(1+\sum _{p<z}\omega (p)\right)^{r}}

Tenga en cuenta que ${\displaystyle \exp {\sum _{p\leq z}f(p)}}$ es la ${\displaystyle {\sum _{p\leq z}f(p)}}$-esima potencia de e.

Como versión del principio de inclusión-exclusión

Una versión más simple de la criba de Brun, es una desigualdad combinatoria la cual es una versión del principio de inclusión-exclusión. Este nos da una comportamiento asintótico del conjunto con ciertas propiedades diciéndonos a qué es menor y a qué es mayor.

Sea X un conjunto no vacío, N un conjunto finito de objetos, sea P₁,...,P_r r diferentes propiedades que tienen ciertos elementos del conjunto X. Sea N₀ el número de elementos que no cumplen estas propiedades. Para cualquier subconjunto I={i₁,...,i_k}, del conjunto de índices {1,2,...,r}, sea N (I)=N (i₁,...,i_k) denota el número de elementos de X que tienen cada una de las propiedades de P_ik,...,P_ik. SEa N(Ø)=|X|=N. Si m es un enteno par no negativo, entonces

${\displaystyle N_{0}\leq \sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}\sum _{|I|=k}N(I)}$

Si m es un entero no negativo impar, entonces

${\displaystyle N_{0}\geq \sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}\sum _{|I|=k}N(I)}$