Cuchilla (vector)

En el estudio del álgebra geométrica, una $k$ -cuchilla (nombre original en inglés, "k-blade"), o también llamada $k$ -hoja, o $k$ -vector simple, es una generalización del concepto de escalares y vectores para poder incluir bivectores simples, trivectores simples o cualquier tipo de multivectores simples. Específicamente, una $k$ -cuchilla es un $k$ -vector que puede expresarse como producto exterior (informalmente, producto de cuña) de 1-vectores, y es de grado $k$ .

Propiedades

En detalle:

Una 0-cuchilla es un escalar.
Una 1-cuchilla es un vector. Cada vector es simple.
Una 2-cuchilla es un bivector simple. Las sumas de 2-cuchillas también son bivectores, pero no siempre simples. Una 2-cuchilla se puede expresar como el producto de cuña de dos vectores $a$ y $b$ :
$a\wedge b.$
Una 3-cuchilla es un trivector simple, es decir, puede expresarse como el producto de cuña de tres vectores $a$ , $b$ y $c$ :
$a\wedge b\wedge c.$
En espacios vectoriales de dimensión ≤ 3, cualquier k-vector es una cuchilla. En dimensiones ≥ 4, existen k-vectores (ya a partir del grado 2) que no son cuchillas. Esto hace que la distinción sea importante, porque en dimensiones mayores la mayoría de los k-vectores no corresponden a ningún subespacio, lo que requiere definir las cuchillas por separado de los k-vectores para identificar los k-vectores que sí lo hacen.
En un espacio vectorial de dimensión $n$ , una cuchilla de grado $n - 1$ se llama pseudovector o antivector.
El elemento de mayor grado en un espacio se llama pseudoescalar, y en un espacio de dimensión $n$ es una $n$ -cuchilla.
En un espacio vectorial de dimensión $n$ , hay $k (n - k) + 1$ grados de libertad para elegir una $k$ -cuchilla para $0 \leq k \leq n$ , de las que una dimensión es un multiplicador de escala general.

Un subespacio vectorial de dimensión finita $k$ puede representarse mediante la $k$ -cuchilla formada como un producto de cuña de todos los elementos de una base para ese subespacio. De hecho, una $k$ -cuchilla es naturalmente equivalente a un subespacio $k$ dotado de una forma de volumen (una función escalar multilineal alterna $k$ ) normalizada para tomar un valor unitario en la $k$ -cuchilla.

Ejemplos

En el espacio bidimensional, los escalares se describen como 0-cuchillas, los vectores son 1-cuchillas y los elementos con área son 2-cuchillas, en este contexto conocidos como pseudoescalares, ya que son elementos de un espacio unidimensional distinto de los escalares regulares.

En el espacio tridimensional, las 0-cuchillas son nuevamente escalares y las 1-cuchillas son vectores tridimensionales, mientras que las 2-cuchillas son elementos de área orientada. En este caso, las 3-cuchillas se denominan pseudoescalares y representan elementos de volumen tridimensionales, que forman un espacio vectorial unidimensional similar a los escalares. A diferencia de los escalares, las 3-cuchillas se transforman según el determinante jacobiano de una función de cambio de coordenadas.

Véase también

Notas

↑ Marcos A. Rodrigues (2000). «§1.2 Geometric algebra: an outline». Invariants for pattern recognition and classification. World Scientific. p. 3 ff. ISBN 981-02-4278-6.
↑ William E Baylis (2004). «§4.2.3 Higher-grade multivectors in Cℓ_n: Duals». Lectures on Clifford (geometric) algebras and applications. Birkhäuser. p. 100. ISBN 0-8176-3257-3.
↑ Lengyel, Eric (2016). Foundations of Game Engine Development, Volume 1: Mathematics. Terathon Software LLC. ISBN 978-0-9858117-4-7.
↑ John A. Vince (2008). Geometric algebra for computer graphics. Springer. p. 85. ISBN 978-1-84628-996-5.
↑ For Grassmannians (including the result about dimension) a good book is: Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1994), Principles of algebraic geometry, Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-05059-9, MR 1288523 .. The proof of the dimensionality is actually straightforward. Take $k$ vectors and wedge them together $v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{k}$ and perform elementary column operations on these (factoring the pivots out) until the top $k \times k$ block are elementary basis vectors of $\mathbb {F} ^{k}$ . The wedge product is then parametrized by the product of the pivots and the lower $k \times (n - k)$ block. Compare also with the dimension of a Grasmaniano, $k (n - k)$ , in which the scalar multiplier is eliminated.
↑ David Hestenes (1999). New foundations for classical mechanics: Fundamental Theories of Physics. Springer. p. 54. ISBN 0-7923-5302-1.

Referencias

David Hestenes; Garret Sobczyk (1987). «Chapter 1: Geometric algebra». Clifford Algebra to Geometric Calculus: A Unified Language for Mathematics and Physics. Springer. p. 1 ff. ISBN 90-277-2561-6.
Chris Doran; Anthony Lasenby (2003). Geometric algebra for physicists. Cambridge University Press. ISBN 0-521-48022-1.
A Lasenby, J Lasenby & R Wareham (2004) Un enfoque covariante de la geometría utilizando geometría Informe técnico de álgebra . Departamento de Ingeniería de la Universidad de Cambridge, Cambridge, Reino Unido.
R Wareham; J Cameron; J Lasenby (2005). «Applications of conformal geometric algebra to computer vision and graphics». En Hongbo Li; Peter J Olver; Gerald Sommer, eds. Computer algebra and geometric algebra with applications. Springer. p. 329 ff. ISBN 3-540-26296-2.

Enlaces externos

A Geometric Algebra Primer, especialmente para informáticos.

Datos: Q4923680

[Rodrigues-1] Marcos A. Rodrigues (2000). «§1.2 Geometric algebra: an outline». Invariants for pattern recognition and classification. World Scientific. p. 3 ff. ISBN 981-02-4278-6.

[Baylis01-2] William E Baylis (2004). «§4.2.3 Higher-grade multivectors in Cℓ_n: Duals». Lectures on Clifford (geometric) algebras and applications. Birkhäuser. p. 100. ISBN 0-8176-3257-3.

[3] Lengyel, Eric (2016). Foundations of Game Engine Development, Volume 1: Mathematics. Terathon Software LLC. ISBN 978-0-9858117-4-7.

[Vince-4] John A. Vince (2008). Geometric algebra for computer graphics. Springer. p. 85. ISBN 978-1-84628-996-5.

[5] For Grassmannians (including the result about dimension) a good book is: Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1994), Principles of algebraic geometry, Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-05059-9, MR 1288523 .. The proof of the dimensionality is actually straightforward. Take $k$ vectors and wedge them together $v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{k}$ and perform elementary column operations on these (factoring the pivots out) until the top $k \times k$ block are elementary basis vectors of $\mathbb {F} ^{k}$ . The wedge product is then parametrized by the product of the pivots and the lower $k \times (n - k)$ block. Compare also with the dimension of a Grasmaniano, $k (n - k)$ , in which the scalar multiplier is eliminated.

[Hestenes-6] David Hestenes (1999). New foundations for classical mechanics: Fundamental Theories of Physics. Springer. p. 54. ISBN 0-7923-5302-1.