Inversión (geometría)

En el plano real

En un espacio euclideo bidimensional (plano), el cálculo de la inversión ${\displaystyle P'}$ de un punto ${\displaystyle P}$ respecto a una circunferencia dada se determina de la forma siguiente:

En coordenadas cartesianas:

Dado un sistema de coordenadas cartesianas ${\displaystyle (x,y)}$ con origen coincidente con el centro ${\displaystyle O}$ de la circunferencia ${\displaystyle (C)}$ de radio ${\displaystyle R}$ de ecuación ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}}$, la inversión toma la forma:

• ${\displaystyle (x,y)\rightarrow {\frac {R^{2}\cdot (x,y)}{x^{2}+y^{2}}}}$

Si se toma ${\displaystyle R=1}$, la expresión queda reducida a:

• ${\displaystyle (x,y)\rightarrow {\frac {(x,y)}{x^{2}+y^{2}}}}$

En coordenadas polares:

Dado un sistema de coordenadas polares ${\displaystyle (r,\varphi )}$ también con origen coincidente con el centro ${\displaystyle O}$ de la circunferencia ${\displaystyle (C)}$ de radio ${\displaystyle R}$, la relación de inversión toma una forma especialmente simple:

• ${\displaystyle (r,\varphi )\rightarrow \left({\frac {R^{2}}{r}},\varphi \right)}$

Si se hace que ${\displaystyle R=1}$, entonces.

• ${\displaystyle (r,\varphi )\rightarrow \left({\frac {1}{r}},\varphi \right)}$

Esta última forma justifica el término inversión utilizado para denominar a esta relación entre puntos con respecto a una circunferencia de radio 1.

En el plano complejo

En el plano complejo se define la aplicación de inversión generalizada con respecto a un círculo unitario. En términos de números complejos, la transformación se caracteriza por la aplicación siguiente:

${\displaystyle z\mapsto {\frac {1}{\overline {z}}}={\frac {z}{|z|^{2}}}}$

siendo ${\displaystyle z}$ un número complejo y ${\displaystyle {\overline {z}}}$ el conjugado asociado al número complejo.

Se puede ver que esta inversión está compuesta por una conjugación compleja y por una homografía.

En realidad se trata de un resultado general: dado un círculo de inversión, se eligen tres puntos ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3}}$ en este círculo, y se define una única homografía ${\displaystyle f}$ que transforma ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3}}$ respectivamente en ${\displaystyle 0,1,\infty }$. A continuación se verifica que la aplicación ${\displaystyle f^{-1}\circ c\circ f}$, donde ${\displaystyle c}$ denota la conjugación compleja, es precisamente la inversión buscada, y su expresión se compone de una homografía y los resultados de la conjugación compleja de la expresión de ${\displaystyle f}$ y ${\displaystyle f^{-1}}$ como homografía.

Esta función enlaza con el grupo circular, que es el conjunto de transformaciones, definido de hecho en la recta proyectiva compleja, que transforma rectas y circunferencias en rectas y circunferencias. Al identificar la recta proyectiva compleja con la esfera de Riemann, esta propiedad de conservación se expresa de manera más simple: las circunferencias dibujadas en esta esfera se conservan. Está claro que las inversiones pertenecen al grupo circular; y es relativamente simple demostrar lo mismo para las homografías, lo que permite comprobar que el grupo circular es generado por inversiones y homografías.

En el espacio tridimensional

Si ${\displaystyle O}$ es el origen en un sistema de coordenadas cartesiano tridimensional, entonces se puede determinar la inversión en la esfera ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}}$ mediante la expresión:

• ${\displaystyle (x,y,z)\mapsto {\frac {R^{2}\cdot (x,y,z)}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$

Con regla y compás

Solo con compás

Punto P exterior a la circunferencia de inversión:

Si el punto ${\displaystyle P}$ se encuentra fuera de la circunferencia de inversión (Figura 2), se dibuja una circunferencia con centro en ${\displaystyle P}$ que pase por ${\displaystyle O}$, centro de la circunferencia de inversión. Esta circunferencia corta a la circunferencia de inversión en dos puntos. Otras dos circunferencias con centro en los dos puntos anteriores y que pasen por ${\displaystyle O}$, se cortan en el punto buscado ${\displaystyle P'}$.

Punto P perteneciente a la circunferencia de inversión:

Si ${\displaystyle P}$ pertenece a la circunferencia de inversión, entonces no es necesaria ninguna construcción, dado que ${\displaystyle P'=P}$.

Punto P interior a la circunferencia de inversión:

Si ${\displaystyle P}$ está en el interior de la circunferencia de inversión, entonces es habitual dividir sus posibles ubicaciones en tres casos (Figura 3-5), lo que permite una simplificación significativa del número de las construcciones gráficas necesarias. En función de la distancia del punto ${\displaystyle P}$ al centro ${\displaystyle O}$ de la circunferencia de inversión, los posibles métodos de construcción son:

1. CASO 1: La distancia desde el punto ${\displaystyle P}$ a ${\displaystyle O}$ (Figura 3) es mayor que la mitad del radio de la circunferencia de inversión (rojo), es decir, ${\displaystyle |{\overline {MP}}|>{\frac {1}{2}}R.}$

La construcción es la misma que la descrita para el caso de que el punto ${\displaystyle P}$ se encuentre fuera de la circunferencia de inversión (rojo).

NOTA:El círculo interior (gris) ilustra la mitad del radio de la circunferencia de inversión. Este círculo gris no interviene en las construcciones gráficas

2. CASO 2: La distancia del punto ${\displaystyle P}$ a ${\displaystyle O}$ (Figura 4) es igual a la mitad del radio de la circunferencia de inversión (rojo), es decir, ${\displaystyle |{\overline {OP}}|={\frac {1}{2}}R}$.

Primero se dibuja una circunferencia con centro en ${\displaystyle P}$ y radio ${\displaystyle |{\overline {OP}}|}$ (azul). Llevando su radio tres veces sobre su perímetro desde ${\displaystyle O}$, se determina su diámetro opuesto ${\displaystyle |{\overline {OC}}|}$. A continuación, se traza una circunferencia con centro en ${\displaystyle C}$ y de radio ${\displaystyle |{\overline {OC}}|}$ (verde). Finalmente, llevando dos veces este radio sobre su perímetro desde el punto recién creado ${\displaystyle D}$ (intersección de las circunferencias roja y verde), se obtiene el punto buscado ${\displaystyle P'}$.

3. CASO 3: La distancia desde el punto ${\displaystyle P}$ hasta ${\displaystyle O}$ (Figura 5) es menor que la mitad, pero mayor que un octavo del radio de la circunferencia de inversión (rojo), es decir, ${\displaystyle {\frac {1}{8}}R<|{\overline {OP}}|<{\frac {1}{2}}R}$.

En la Figura 5 adyacente, el círculo pequeño (rosa) ilustra una octava parte del radio de la circunferencia de inversión. Este círculo rosa no interviene en la construcción.

En primer lugar, se traza una circunferencia con centro en ${\displaystyle P}$ y con radio ${\displaystyle |{\overline {OP}}|}$ (azul), y se determinada su diámetro ${\displaystyle |{\overline {OC}}|}$ llevando tres veces su radio sobre su perímetro desde ${\displaystyle O}$. Se traza un arco circular con centro en ${\displaystyle C}$ y radio ${\displaystyle |{\overline {OC}}|}$, y de forma análoga al caso anterior, se genera el diámetro ${\displaystyle |{\overline {OF}}|}$. A continuación se traza otro arco, con centro en ${\displaystyle F}$ y radio ${\displaystyle |{\overline {OF}}|}$, que corta a la circunferencia de inversión en ${\displaystyle G}$ y ${\displaystyle H}$. Ahora se trazan dos arcos con centro en ${\displaystyle G}$ y ${\displaystyle H}$ y con radio ${\displaystyle |{\overline {OG}}|}$(igual a ${\displaystyle |{\overline {OH}}|}$), que se cortan en ${\displaystyle I}$. Desde ${\displaystyle I}$ se traza otro arco circular con radio ${\displaystyle |{\overline {OI}}|}$, sobre el que se genera el diámetro ${\displaystyle |{\overline {OL}}|}$. A continuación, se dibuja la última circunferencia con centro en ${\displaystyle L}$ y radio ${\displaystyle {\overline {OL}}}$ (verde). Por último, llevando tres veces su radio sobre su perímetro desde el punto ${\displaystyle O}$, se obtiene el punto buscado ${\displaystyle P'}$.

• PROCEDIMIENTO GENERAL para cuando ${\displaystyle P}$ está dentro de la circunferencia de inversión:

El procedimiento consiste en reducir sucesivamente a la mitad el radio de la circunferencia de inversión, hasta que se obtuviera una nueva circunferencia que no contenga al punto ${\displaystyle P}$ (esta construcción es posible utilizando un compás simplemente). A continuación se construye el punto ${\displaystyle P''}$ como se ha descrito anteriormente (Figura 2), realizando la inversión respecto a la nueva circunferencia. Por último, se duplica la distancia ${\displaystyle |{\overline {OP''}}|}$ el doble de veces que se haya reducido el radio a la mitad (por ejemplo, si se ha hecho una reducción tomando ${\displaystyle R/2}$, se tienen que hacer dos duplicaciones: con la primera se pasa al doble de ${\displaystyle |{\overline {OP''}}|}$, y con la segunda, al cuádruple, por lo que ${\displaystyle |{\overline {OP'}}|=4\cdot |{\overline {OP''}}|}$; y por ejemplo, si se han hecho dos reducciones tomando ${\displaystyle R/4}$, entonces se tienen que hacer cuatro duplicaciones, por lo que ${\displaystyle |{\overline {OP'}}|=16\cdot |{\overline {OP''}}|}$. El punto ${\displaystyle P'}$ (obtenido a partir de ${\displaystyle P''}$) es el punto buscado. De nuevo, es posible realizar la construcción utilizando simplemente un compás.

Debido a la complejidad de este proceso, no es una construcción práctica, pero proporciona una manera de probar el teorema de Mohr-Mascheroni, que establece que es posible realizar todas las construcciones con regla y compás utilizando exclusivamente un compás.

Solo con regla

Valiéndose de las propiedades de un cuadrilátero completo y de la condición de cuaterna armónica existente en una inversión (entre cada punto A; su inverso A'; y los dos puntos diametralmente opuestos (D y E) de la circunferencia de inversión (c) que forman parte de la recta AA'); es posible realizar construcciones utilizando exclusivamente una regla para determinar el inverso de un punto dado.

En función de si el punto A se encuentra dentro o fuera de la circunferencia, se tienen dos construcciones distintas, que se muestran en la figura de la derecha:

• (1) Punto A en el interior de la circunferencia (c):
  • Tomar un punto arbitrario 1, y unirlo con los puntos D, A y E (segmentos grises)
  • Tomar un segundo punto arbitrario 2 sobre el segmento D-1, y unirlo con el punto E
  • El segmento E-2 (verde) corta al segmento A-1 en el punto 3
  • Ahora, se conecta el punto D con el punto 3 y se prolonga el segmento D-3 (verde) hasta cortar a E-1 en el punto 4
  • Y finalmente, conectar el punto 2 y el punto 4, y prolongar el segmento 2-4 (azul) hasta cortar la recta D-E para obtener el punto buscado A'
  • (NOTA: la construcción también puede hacerse eligiendo de forma arbitraria el punto 3 sobre A-1. para trazar las diagonales D-4 y E-2 pasando por 3)

• (2) Punto A en el exterior de la circunferencia (c):
  • Tomar un punto arbitrario 1, y unirlo con los puntos D, y E (segmentos grises)
  • Tomar un segundo punto arbitrario 2 sobre el segmento D-1, y unirlo con el punto A
  • El segmento A-2 (gris) corta al segmento E-1 en el punto 3
  • Ahora, se conecta el punto E con el punto 2 y el D con el 3, de forma que los segmentos E-2 y D-3 (verdes) se cortan en el punto 4
  • Y por último, conectar el punto 1 con el punto 4, y prolongar el segmento 1-4 (azul) hasta cortar la recta D-E para obtener el punto buscado A'

Debe notarse que si el punto A coincide con el centro o de la circunferencia (c), entonces los puntos 2 y 4 (del caso 1) se disponen en una recta paralela a la recta D-E, lo que implica que el punto A' es el punto del infinito.

Mediante dispositivos mecánicos

• Existen dispositivos mecánicos diseñados específicamente para la inversión respecto a una circunferencia, como el mecanismo de Peaucellier-Lipkin.

Recta

La línea recta con la ecuación ${\displaystyle ax+by+c=0}$ se transforma en la curva con la ecuación ${\displaystyle a{\tfrac {X}{X^{2}+Y^{2}}}+b{\tfrac {Y}{X^{2}+Y^{2}}}+c=0}$ respecto al círculo unitario. Esta ecuación es equivalente a

${\displaystyle aX+bY+c(X^{2}+Y^{2})=0}$

que en el caso ${\displaystyle c=0}$ describe la línea recta original, y en el caso ${\displaystyle c\neq 0}$ es una circunferencia a través del origen con la ecuación

${\displaystyle \left(X+{\frac {a}{2c}}\right)^{2}+\left(Y+{\frac {b}{2c}}\right)^{2}={\frac {a^{2}+b^{2}}{4c^{2}}}}$

En los siguientes ejemplos, en lugar de ${\displaystyle X,Y}$, por simplicidad, se usan ${\displaystyle x,y}$ (minúsculas) para la curva imagen.

Circunferencia

La circunferencia con la ecuación ${\displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}=r^{2}}$ se transforma en la curva con la ecuación ${\displaystyle ({\tfrac {x}{x^{2}+y^{2}}}-x_{0})^{2}+({\tfrac {y}{x^{2}+y^{2}}}-y_{0})^{2}=r^{2}}$, equivalente a

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})(x_{0}^{2}+y_{0}^{2}-r^{2})-2xx_{0}-2yy_{0}+1=0}$

que describe
en el caso ${\displaystyle x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=r^{2}}$ (la circunferencia inicial pasa por el origen), su imagen es la «línea recta»

${\displaystyle 2xx_{0}+2yy_{0}=1\ .}$

Si ${\displaystyle x_{0}^{2}+y_{0}^{2}\neq r^{2}}$, la ecuación anterior puede ser transformada en

${\displaystyle \left(x-{\frac {x_{0}}{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}-r^{2}}}\right)^{2}+\left(y-{\frac {y_{0}}{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}-r^{2}}}\right)^{2}={\frac {r^{2}}{(x_{0}^{2}+y_{0}^{2}-r^{2})^{2}}}\ .}$

Esta ecuación describe una circunferencia.
Si ${\displaystyle x_{0}=y_{0}=0}$, aparece de nuevo una circunferencia con el punto cero como punto central y radio ${\displaystyle 1/r\ .}$

Figuras poligonales

Las figuras poligonales, compuestas indistintamente por segmentos de recta o por arcos de circunferencia, se transforman respectivamente en nuevas figuras poligonales cuyos lados son arcos de circunferencia o segmentos rectilíneos si están ligados al origen de la inversión. Como en el caso de los espejos planos, el resultado de invertir dos veces sucesivas (hacia adentro o hacia afuera) la misma figura, implica que se recupera la quiralidad de la forma original. Aunque la relación de inversión es recíproca (en la práctica, la imagen es la inversión de la forma original, tanto como la forma original lo es de su imagen), normalmente se parte de una figura reconocible (a la que aquí se denomina «origen»), sobre la que se aplica la relación de inversión, para generar una nueva figura desconocida (a la que aquí se denomina «imagen»). En general, cuando la figura «origen» se sitúa fuera de la circunferencia de inversión o cerca de su contorno, las «imágenes» experimentan distorsiones más o menos intensas. A medida que la figura origen se acerca al centro de inversión, las distorsiones se magnifican de tal manera que resulta casi imposible intuir las figuras originales a partir de sus imágenes.

La imagen muestra el resultado de dos procesos sucesivos de inversión aplicados sobre un rótulo compuesto por segmentos de líneas rectas: 1.ª INVERSIÓN: Se aplica al rótulo de color verde con respecto a la circunferencia roja, obteniéndose el rótulo cian 2.ª INVERSIÓN: Se aplica al rótulo de color cian con respecto a la circunferencia magenta, obteniéndose el rótulo azul Tras la segunda inversión, la figura recupera su quiralidad original

El rectángulo ABCD es una ampliación del rectángulo abcd. Las imágenes de las dos letras del rótulo "INVERSION" más cercanas al centro de inversión (la "E", color gris, por la izquierda y la "R",color azul claro, por la derecha), son prácticamente irreconocibles

Parábola

a) Una parábola ${\displaystyle y=x^{2}}$ tiene la forma paramétrica ${\displaystyle (u,u^{2})}$ que se transforma en la curva ${\displaystyle ({\tfrac {1}{u(1+u^{2})}},{\tfrac {1}{1+u^{2}}})}$. La curva implícita ${\displaystyle x^{2}-y=0}$ produce la ecuación ${\displaystyle x^{2}-y(x^{2}+y^{2})=0}$ para la curva imagen, que es la ecuación de una Cisoide de Diocles.

b) La parábola ${\displaystyle y=x^{2}-{\tfrac {1}{4}}}$ se asigna a una cardioide mediante la reflexión circular utilizando la ecuación ${\displaystyle (x^{2}+y^{2}+2y)^{2}=4(x^{2}+y^{2})}$. La inversión de una parábola produce una cardioide solo si el centro de inversión coincide con el foco de la parábola.

La inversión de una parábola se puede asociar a sus rectas tangentes, que se transforman en una serie de circunferencias que pasan a través del punto origen. En el caso de la cardioide, los centros de estas circunferencias también se encuentran en una circunferencia que pasa a través del origen y tiene radio 1.

Esta propiedad se utiliza para dibujar una cardioide como la envolvente de un conjunto de circunferencias:

1) Selecciónese una circunferencia k y un punto O en ella

2) Dibújense circunferencias a través de O con sus centros en k

3) Dibújese la curva envolvente de estas circunferencias

Hipérbola

a) Una hipérbola con la ecuación ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$ se transforma mediante su reflexión en el círculo unitario, en una lemniscata con la ecuación ${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}-(x^{2}-y^{2})=0}$ (véase la imagen).

b) La inversión de la hipérbola ${\displaystyle (x-1)^{2}-y^{2}=1}$ produce el folium de Descartes ${\displaystyle x^{2}-2x(x^{2}+y^{2})-y^{2}=0}$ (véase la imagen).

Óvalo cartesiano

Dado un óvalo cartesiano de ecuación |PS ± m QS| = |a|, con expresión en coordenadas polares:

${\displaystyle (1-m^{2})\rho ^{2}+2\rho (cm^{2}\cos \theta +a)+(a^{2}-c^{2}m^{2})=0}$

entonces el óvalo interior y el óvalo exterior forman una inversión de centro P y de razón ${\displaystyle r^{2}={\frac {(a^{2}-m^{2}c^{2})}{(1-m^{2})}}}$.

Esfera con meridianos y paralelos

La superficie más simple para visualizar una inversión es una esfera con circunferencias de longitud y latitud. La imagen de la esfera es de nuevo una esfera, y las circunferencias de longitud y latitud vuelven a ser un sistema de circunferencias que se intersecan ortogonalmente. Sin embargo, las imágenes de los polos norte y sur generalmente ya no se sitúan en los extremos de un diámetro de una esfera (véase la imagen).

Elipsoide con circunferencias y elipses

En un elipsoide se inscribe un sistema de circunferencias horizontales, que se transforman nuevamente en circunferencias en el ejemplo que se muestra en la imagen. Las elipses verticales del elipsoide se convierten en curvas similares a las mostradas anteriormente en el ejemplo de la inversión circular de una elipse.

Hiperboloide de una sola hoja con circunferencias e hipérbolas

En un hiperboloide de rotación de una sola hoja, una superficie reglada,se inscriben un grupo de circunferencias (en la imagen son las circunferencias horizontales) y dos conjuntos de rectas (en la imagen se muestran en color azul). Las circunferencias se convierten en un grupo de circunferencias que cubren el área. Cada recta (generatriz) del hiperboloide también pasa por una circunferencia que asu vez pasa a través del origen (véase la imagen). El grupo de hipérbolas (que cortan las circunferencias de forma ortogonal) se convierte en un grupo de curvas con forma de lemniscata que contienen el origen. La imagen muestra solo aquellas partes de estas curvas que aparecen como imágenes de los arcos hiperbólicos.

Imágenes de hiperplanos e hiperesferas

Al igual que con la prueba de que una reflexión circular convierte líneas rectas y circunferencias se transforman en elementos de estos tipos, se demuestra con la ayuda del cálculo vectorial que, en el caso general:

• En caso de una inversión, hiperplanos e hiperesferas se convertirán en el mismo tipo de elementos.

Isogonalidad

Sea ${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {c}}\;(s)}$ una curva regular en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ y ${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {\gamma }}\;(s)={\tfrac {{\vec {c}}\;(s)}{{\vec {c}}\;^{2}(s)}}}$ la curva inversa con respecto a su inversión respecto a una esfera unitaria. Entonces se aplica

${\displaystyle {\vec {\gamma }}\;'={\frac {{\vec {c}}\;'{\vec {c}}\;^{2}-2{\vec {c}}({\vec {c}}\cdot {\vec {c}}\;')}{({\vec {c}}\;^{2})^{2}}}}$ (el argumento ${\displaystyle (s)}$ se ha omitido).

De manera similar, para otra curva regular ${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {d}}(t)}$ y su inversa ${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {\delta }}(t)={\tfrac {{\vec {d}}(t)}{{\vec {d}}\;^{2}(t)}}}$ :

${\displaystyle {\vec {\delta }}\;'={\frac {{\vec {d}}\;'{\vec {d}}\;^{2}-2{\vec {d}}({\vec {d}}\cdot {\vec {d}}\;')}{({\vec {d}}\;^{2})^{2}}}}$

Ambas curvas pueden ser parametrizadas por la longitud del arco (es decir, ${\displaystyle |{\vec {c}}\;'|=|{\vec {d}}\;'|=1}$) y se intersecan en el punto ${\displaystyle {\vec {c}}(0)={\vec {d}}(0)}$. Entonces sus inversos se intersecan en ${\displaystyle {\vec {\gamma }}(0)={\vec {\delta }}(0)}$. En estas intersecciones, ${\displaystyle {\vec {c}}={\vec {d}}\ }$ es válido en las fórmulas anteriores y se calcula que:

${\displaystyle ({\vec {\gamma }}\;')^{2}=\dots ={\frac {1}{({\vec {c}}\;^{2})^{2}}}=({\vec {\delta }}\;')^{2}}$

Teniendo en cuenta que ${\displaystyle {\vec {c}}={\vec {d}}\ }$, los resultados para el ángulo de intersección ${\displaystyle \alpha }$ de las curvas imagen es:

• ${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {{\vec {\gamma }}\;'}{|{\vec {\gamma }}\;'|}}\cdot {\frac {{\vec {\delta }}\;'}{|{\vec {\delta }}\;'|}}=({\vec {\gamma }}\;'\cdot {\vec {\delta }}\;')\;({\vec {c}}\;^{2})^{2}=\dots ={\vec {c}}\;'\cdot {\vec {d}}\;'}$

Entonces, el ángulo de intersección de las curvas inversas es idéntico al ángulo de intersección de las curvas dadas.

La inversión del plano respecto de una circunferencia es una transformación biyectiva y continua del plano en sí mismo. En análisis complejo está relacionado con las transformaciones de Möbius. El concepto es usado en problemas de geometría euclidiana y aparece de forma natural en las geometrías proyectiva e hiperbólica.

Definición proyectiva

Sea C una circunferencia con centro en O y radio r y sea A un punto diferente de O. La inversión de A respecto a C es el único punto B en el rayo que emana de O y A tal que OA.OB = r².

Al punto O se le llama centro de inversión.

Está claro que la imagen del punto B en esta inversión es el punto A. Se dice que los puntos A y B son inversamente simétricos el uno del otro.

En la figura de la derecha, las circunferencias S1 y S2 son ortogonales, esto es, las tangentes en los puntos de contacto son rectas perpendiculares.

La potencia de O respecto de la circunferencia S2 es igual a r². En particular, OA.OB = r².

• La imagen de cada punto de la circunferencia S2 es otro punto sobre la misma circunferencia. S2 es por tanto, invariante en la inversión. Más aún, toda circunferencia ortogonal a S1 es invariante en la inversión.

• Cada punto de la circunferencia S1 es invariante en la inversión. Se dice que S1 es la circunferencia de puntos invariantes o circunferencia de puntos dobles, ya que en realidad los puntos tienen una imagen pero coincide en el mismo lugar.

Imagen de una recta en una inversión

De la definición de inversión, está claro que toda recta que pase por el centro de inversión es invariante.

"La imagen de toda recta que no pase por el centro de inversión es una circunferencia que pasa por el centro de inversión".

Sea r una recta que no pase por el centro de inversión O y sea P el pie de la perpendicular a r por el punto O y Q su imagen en la inversión. Sea A un punto arbitrario de r, distinto de P y sea B el pie de la perpendicular por el punto Q a la recta OA. Los triángulos OAP y OQB son semejanes y de las razones

${\displaystyle {\frac {OA}{OQ}}={\frac {OP}{OB}}}$

se sigue que

${\displaystyle OA\cdot OB=OQ\cdot OP}$

y por tanto B es el simétrico de A en la inversión.

B es vértice del ángulo recto de un triángulo rectángulo cuyos lados pasan por los puntos O y Q. Como el lugar geométrico de estos vértices, cuyos lados pasan por un par de puntos fijos, es una circunferencia, cuyo diámetro está determinado por dichos puntos fijos, concluimos que la imagen de la recta r es la circunferencia de diámetro OQ.

Imagen de una circunferencia en una inversión

Sean s1 y s2 dos circunferencias (como en la figura). Sea H el centro de la homotecia positiva en la que la cirunferencia s2 es la imagen de la circunferencia s1. Sea t una de las tangentes comunes a las dos circunferencias (esta tangente, necesariamente pasa por el punto H). Denótense con A y B los puntos de contacto de esta tangente con las circunferencias s1 y s2 respectivamente. El punto B es la imagen de A en la homotecia mencionada. Sea r una secante cualquiera a las circunferencias por el punto H y sean C y D sus intersecciones con s1 y E y F sus intersecciones con s2. Puesto que el punto E es homotético del punto C, los ángulos HAC y HBE son congruentes. Como los lados del ángulo inscrito a la circunferencia s1 HDA, pasan por los puntos A y C, este ángulo es congruente con el ángulo HAC, semiinscrito a dicha circunferencia. Los triángulos HBE y HDA son semejantes y, por tanto,

${\displaystyle {\frac {HB}{HD}}={\frac {HE}{HA}}.}$

Por tanto,

${\displaystyle HA\cdot HB=HD\cdot HE}$

De la ecuación anterior se sigue que el punto H puede considerarse como centro de inversión en la cual los puntos A y B son inversamente simétricos el uno del otro. En esta inversión, los puntos D y E son uno imagen del otro. De manera semejante, se puede demostrar que los puntos C y F son inversamente simétricos en la mencionada inversión. Puesto que la secante r es arbitraria se concluye que

Por otra parte, los puntos A, B, D y E son concíclicos, esto es, se hallan sobre una circunferencia. Dicha circunferencia es invariante en la inversión y es, por tanto, ortogonal a la circunferencia de puntos invariantes (no mostrada en la figura). De aquí se sigue que

En general, se puede demostrar que dos circunferencias no tangentes siempre se pueden considerar inversamente simétricas una de la otra.